Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 3.1

Aufgabenstellung Seien , , . Berechnen Sie ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung . Berechnen Sie die maximale Lösung des Anfangswertproblems     Lösungsvorschlag Die Matrixexponentialfunktion liefert eine Fundamentalmatrix für die Differentialgleichung. Für mit der Jordannormalform von und der dazugehörigen Transformationsmatrix ist bereits eine Fundamentalmatrix, da die Multiplikation von rechts mit lediglich eine Linearkombination der Spaltenvektoren […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Sei für und . Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von . Bestimmen Sie zu alle Lösungen von (1)   Zeigen Sie, dass jede Lösung aus (b) maximal auf einem beschränkten Zeitintervall existiert und geben Sie das Randverhalten der Lösungen an. Lösungsvorschlag Die partiellen Ableitungen errechnen sich leicht zu     bzw.     Das […]

Examen Herbst 2010, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Sei     Zeigen Sie, dass für alle ist, also dass auf ganz definiert ist. Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem     eine auf ganz definierte Lösung hat. Lösungsvorschlag Betrachte die (konvexe) Funktion . Die Ableitung liefert ein Minimum bei , und . Somit ist und . Die Existenz einer Lösung ist durch den […]

Examen Herbst 2010, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Es sei stetig differenzierbar und eine -periodische Lösung der minimalen Periode von     Es sei ein Fundamentalsystem der sogenannten Variationsgleichung     d.h. die matrixwertige Lösung mit . Dabei ist die Ableitung (die Jacobi-Matrix) von in .Zeigen Sie, dass den Eigenwert hat. Lösungsvorschlag Diese Aufgabe schneidet das wahnsinnig interessante Themengebiet der Dynamischen Systeme […]