Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Sei für und . Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von . Bestimmen Sie zu alle Lösungen von (1)   Zeigen Sie, dass jede Lösung aus (b) maximal auf einem beschränkten Zeitintervall existiert und geben Sie das Randverhalten der Lösungen an. Lösungsvorschlag Die partiellen Ableitungen errechnen sich leicht zu     bzw.     Das […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 3.1

Aufgabenstellung Seien , , . Berechnen Sie ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung . Berechnen Sie die maximale Lösung des Anfangswertproblems     Lösungsvorschlag Die Matrixexponentialfunktion liefert eine Fundamentalmatrix für die Differentialgleichung. Für mit der Jordannormalform von und der dazugehörigen Transformationsmatrix ist bereits eine Fundamentalmatrix, da die Multiplikation von rechts mit lediglich eine Linearkombination der Spaltenvektoren […]

Examen Frühjahr 2010, Aufgabe 2.5

Aufgabenstellung Betrachten Sie das System gewöhnlicher Differentialgleichungen     mit einem positiven Parameter . Bestimmen Sie mithilfe von Polarkoordinaten , alle periodischen Lösungen sowie deren (minimale) Periode . Bestimmen Sie für jede Lösung des Systems den Grenzwert . Lösungsvorschlag Die Überführung in Polarkoordinaten geschieht nach einem festen Schema. Die Funktion misst zu einem Zeitpunkt den […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: Es sei stetig und lokal Lipschitz-stetig bezüglich . Dann gibt es für jedes eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems , die auf dem Intervall definiert ist, d.h. . Jede Lösung der Differentialgleichung kann auf ganz fortgesetzt werden. Lösungsvorschlag Nein, das stimmt nicht. Die Funktion ist eine Funktion, die […]