Examen Herbst 2012, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung Sei eine positive differenzierbare Funktion. Welche Stammfunktion hat dann die Funktion ? Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems (1)   und deren maximalen Definitionsbereich. Zeigen Sie, dass die Lösung auf diesem Definitionsbereich der Abschätzung genügt und skizzieren Sie den Graphen der Funktion . Lösungsvorschlag Die Funktion ist allgemein unter dem Namen “logarithmische Ableitung” bekannt. […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 3.1

Aufgabenstellung Seien , , . Berechnen Sie ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung . Berechnen Sie die maximale Lösung des Anfangswertproblems     Lösungsvorschlag Die Matrixexponentialfunktion liefert eine Fundamentalmatrix für die Differentialgleichung. Für mit der Jordannormalform von und der dazugehörigen Transformationsmatrix ist bereits eine Fundamentalmatrix, da die Multiplikation von rechts mit lediglich eine Linearkombination der Spaltenvektoren […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 3.2

Aufgabenstellung Sei und , . Zeigen Sie: Das Anfangswertproblem (1)   hat eine eindeutig bestimmte, maximale Lösung mit . Die Grenzwerte , existieren in . Es gilt: , , und . Lösungsvorschlag Die Funktion ist stetig und die partielle Ableitung nach ergibt     Für definieren wir . Auf genügt einer lokalen Lipschitzbedingung und da […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Sei für und . Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von . Bestimmen Sie zu alle Lösungen von (1)   Zeigen Sie, dass jede Lösung aus (b) maximal auf einem beschränkten Zeitintervall existiert und geben Sie das Randverhalten der Lösungen an. Lösungsvorschlag Die partiellen Ableitungen errechnen sich leicht zu     bzw.     Das […]