Examen Herbst 2012, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung Sei eine positive differenzierbare Funktion. Welche Stammfunktion hat dann die Funktion ? Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems (1)   und deren maximalen Definitionsbereich. Zeigen Sie, dass die Lösung auf diesem Definitionsbereich der Abschätzung genügt und skizzieren Sie den Graphen der Funktion . Lösungsvorschlag Die Funktion ist allgemein unter dem Namen “logarithmische Ableitung” bekannt. […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung Sei für und . Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von . Bestimmen Sie zu alle Lösungen von (1)   Zeigen Sie, dass jede Lösung aus (b) maximal auf einem beschränkten Zeitintervall existiert und geben Sie das Randverhalten der Lösungen an. Lösungsvorschlag Die partiellen Ableitungen errechnen sich leicht zu     bzw.     Das […]

Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung Sei eine stetige Funktion mit     Berechnen Sie für die Lösungen des Anfangswertproblems für mit . Beweisen Sie: Ist , so existiert die Lösung in für alle Zeiten . Lösungsvorschlag Das Anfangswertproblem , lässt sich mit Trennung der Variablen lösen. Die Formel direkt angewandt liefert     Das Existenzintervall von hängt direkt mit […]

Examen Frühjahr 2011, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung Untersuchen Sie für die Differentialgleichung     jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle solchen Lösungen an: und und und Lösungsvorschlag Wir erkennen sofort, dass die Funktion in allen Punkten lokal Lipschitzstetig ist, in ist sie nur stetig. Somit besitzen alle Anfangswertprobleme […]