Examen Herbst 2012, Aufgabe 3.4

Aufgabenstellung

Berechnen Sie das Integral

(1)   \begin{equation*}  \int_0^\infty \frac{x^\frac{1}{2}}{x^2-i}dx. \end{equation*}

Lösungsvorschlag

Als erstes führen wir eine reelle Substitution durch. Mit x=z^2 wird obiges Integral in die leichter zu berechnende Form

(2)   \begin{equation*}  \int_0^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2-i}dx=\int_0^\infty\frac{z}{z^4-i}2zdz=\int_0^\infty\frac{2z^2}{z^4-i}dz   \end{equation*}

überführt. Den Integranden bezeichnen wir fortan als f(z). Dieses Integral konvergiert, da der Grad des Nennerpolynoms von f um zwei größer ist, als der Grad des Zählerpolynoms. Die Funktion \frac{1}{x^2} bildet eine konvergente Majorante. Da f eine gerade Funktion ist, gilt der Zusammenhang

(3)   \begin{equation*}  \int_0^\infty f(z)dz=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty f(z)dz. \end{equation*}

Außerhalb der Punkte \{z : z^4=i\} kann f holomorph fortgesetzt werden. Genau in diesen Punkten liegen die Singularitäten von f.

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