Examen Herbst 2012, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die (lokale) Lösung des Differentialgleichungssystems

(1)   \begin{equation*}  y'= \begin{pmatrix}   \frac{t}{1-t^2} & 1 \\  0 & \frac{2t}{1-t^2}y   \end{pmatrix} \end{equation*}

jeweils zum Anfangswert

  1. y(0)=\begin{pmatrix}    0 \\ 1    \end{pmatrix}
  2. y(2)=\begin{pmatrix}    0 \\ -\frac{1}{3}    \end{pmatrix}.

Lösungsvorschlag

Wir setzen y=(u,v)^T und teilen das Differentialgleichungssystem auf. Führen wir die Multiplikation auf der rechten Seite aus, so erhalten wir

    \begin{align*}     u' =& \frac{t}{1-t^2}u + v \\    v' =& \frac{2t}{1-t^2}.  \end{align*}

Die zweite Gleichung ist separierbarer Natur. Wir verfolgen den Ansatz der Trennung der Variablen und erhalten hierdurch

    \begin{align*}     v' =& \frac{2t}{1-t^2}v \\    \Leftrightarrow &\frac{v'}{v} = \frac{2t}{1-t^2} \\       \Leftrightarrow &\int \frac{1}{\xi} d\xi = - \int \frac{-2\tau}{1-\tau^2} d\tau \\    \Leftrightarrow &\log v =  log \frac{1}{1-t^2}+c_1 \\    \Leftrightarrow & v = \frac{c_1}{1-t^2}  \end{align*}

Setzen wir in diese allgemeine Lösung die Startwerte 0 und 2 ein, so erfahren wir, dass in beiden Fällen c_1=1 zu setzen ist. Die eindeutige Lösung der Differentialgleichung von v ist somit v(t)= \frac{1}{1-t^2}.
Da wir nun v kennen, betrachten wir die Differentialgleichung u' = \frac{t}{1-t^2}u + v = \frac{t}{1-t^2}u +\frac{1}{1-t^2}. Diese ist eine inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung. Den homogenen Teil

(2)   \begin{equation*}   u' =\frac{t}{1-t^2}u   \end{equation*}

können wir leicht lösen. Dies ist wieder separierbarer Natur. Der Ansatz der Trennung der Variablen führt zu

    \begin{align*}     v' =& \frac{t}{1-t^2}v \\    \Leftrightarrow &\frac{v'}{v} = \frac{t}{1-t^2} \\    \Leftrightarrow &\int \frac{1}{\xi} d\xi = -\frac{1}{2} \int \frac{-2\tau}{1-\tau^2} d\tau \\    \Leftrightarrow &\log v =  log \left(\frac{1}{1-t^2}\right)^{\frac{1}{2}}+c_1 \\    \Leftrightarrow &v = \frac{c_1}{\sqrt{1-t^2}}.  \end{align*}

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