Examen Herbst 2012, Aufgabe 3.1

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie jeweils für \omega_0=1 und \omega_0=\sqrt{2} die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichung

(1)   \begin{equation*}        y''+2y=2\cos \omega_0 t. \end{equation*}

Lösungsvorschlag

Wir bestimmen im ersten Schritt die allgemeine Lösung des homogenen Teils der Differentialgleichung y''+2y=0. Das charakteristische Polynom hierzu lautet \lambda^2+2=0, welches genau in den Punkten \lambda_{1/2}=\pm\sqrt{2}i verschwindet. Somit bildet die Menge

(2)   \begin{equation*}  \left\{\cos \sqrt{2}t, \sin \sqrt{2}t\right\} \end{equation*}

ein Fundamentalsystem von Lösungen. Für die verschiedenen Werte von \omega_0 benötigen wir nun jeweils eine spezielle Lösung der Differentialgleichung.

  1. Für \omega_0=1 liegt keine Resonanz vor. Ein Ansatz vom Typ der rechten Seite lautet also y=a \cos t + b \sin t. Eingesetzt in die Differentialgleichung (1) ergibt dies

    (3)   \begin{equation*}  -a \cos t - b \sin t + 2a \cos t + 2b \sin t = 2 \cos t. \end{equation*}

    Durch Ausklammern erhält man wegen der linearen Unabhängigkeit von Cosinus und Sinus direkt die Werte b=0 und a=2. Die allgemeine reelle Lösung im ersten Fall ist also

    (4)   \begin{equation*}  y(t) = \underbrace{2\cos t}_{\text{spez. Lsg.}} + \underbrace{c_1 \cos  \sqrt{2}t + c_2 \sin \sqrt{2}t}_{\text{allg. Lsg.}}. \end{equation*}

  2. Im zweiten Fall \omega_0 = \sqrt{2} liegt Resonanz vor. Wir machen also den Ansatz

    (5)   \begin{equation*}  y= t (a \cos t + b \sin t).  \end{equation*}

    Eingesetzt in die Differentialgleichung (1) ergibt dies

        \begin{align*}    2\cos \sqrt{2}t(\sqrt{2}b-at)-&2\sin \sqrt{2}t(\sqrt{2}a +bt)+ 2t(a\cos\sqrt{2}t+b\sin\sqrt{2}t) \\    =&2\sqrt{2}(b\cos\sqrt{2}t - a\sin \sqrt{2}t) \\    =& 2\cos\sqrt{2}t. \end{align*}

    Aus der linearen Unabhängigkeit von Sinus und Cosinus folgen direkt die Werte a=0 und b=\frac{1}{\sqrt{2}}. Die allgemeine Lösung in diesem Fall lautet also

    (6)   \begin{equation*}  y(t)=\underbrace{\frac{t}{\sqrt{2}}\sin\sqrt{2}t}_{\text{spez. Lsg.}} +  \underbrace{c_1 \cos \sqrt{2}t + c_2 \sin \sqrt{2}t}_{\text{allg. Lsg.}} \end{equation*}

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