Examen Herbst 2012, Aufgabe 2.3

Aufgabenstellung

  1. Sei D\subseteq \IC offen, c\in D und seien f und g auf D holomorph. Weiter habe g in c eine Nullstelle zweiter Ordnung. Zeigen Sie, dass

    (1)   \begin{equation*}  Res_c\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{6f'(z)g''(c)-2f(c)g'''(c)}{3(g''(c))^2}.  \end{equation*}

  2. Sei D\subseteq\IC offen, c\in D, und die auf D\setminus\{c\} holomorphe Funktion h habe in c einen Pol m-ter Ordnung, m\geq 1. Sei p ein Polynom vom Grad n\geq 1. Zeigen Sie, dass p\circ h in c einen Pol der Ordnung mn besitzt.

Lösungsvorschlag

  • \item[a)] Wegen der Holomorphie in c kann man f und g dort jeweils in eine Potenzreihe entwickeln. Die Entwicklungen sehen dabei folgendermaßen aus, wobei r(z) und s(z) hierbei Potenzreihen in entsprechend höheren Potenzen von (z-c) sind:

        \begin{align*}  f(z) = f(c) + f'(c)(z-c) + r(z) \quad \text{und} \quad \\ g(z) =   \frac{g''(c)}{2}(z-c)^2 + \frac{g'''(c)}{6}(z-c)^3 + s(z)  \end{align*}

    Es wurde hierbei verwendet, dass g in c eine Nullstelle zweiter Ordung hat. Wie man schnell nachrechnet (durch Ausmultiplizieren der ersten Terme), ist dann die Laurententwicklung von \frac{1}{g} von folgender Form, wobei q(z) auch wieder eine Potenzreihe in entsprechend höheren Potenzen von (z-c) ist:

        \begin{align*}  \frac{1}{g(z)} = \frac{1}{(z-c)^2}\left(\frac{2}{g''(c)} -  \frac{2g'''(c)}{3(g''(c))^2}(z-c)) + q(z) \right)  \end{align*}

    Das Residuum in c erhält man nun als Koeffizient von \frac{1}{z-c} durch Multiplikation der Reihen von f und \frac{1}{g}:

        \begin{align*}  \text{Res}_c\left(\frac{f}{g}\right) =& \frac{2f'(c)}{g''(c)} - \frac{2f(c)g'''(c)}{3(g''(c))^2} \\ =& \frac{6f'(c)g''(c)-2f(c)g'''(c)}{3(g''(c))^2}  \end{align*}

    \item[b)] Da h in c einen Pol der Ordnung m hat, gibt es eine in D\setminus\left\{c\right\} holomorphe Funktion k , die dort keine Nullstelle hat und h(z) = \frac{k(z)}{(z-c)^m} erfüllt. Ferner lässt sich das Polynom p als Produkt a\cdot \prod\limits_{i=1}^{n}(z-z_i) schreiben, wobei a der Leitkoeffizient und die z_i die nicht notwendig verschiedenen Nullstellen von p sind. Setzt man nun h in p ein, so ergibt sich

        \begin{align*}   p(h(z)) =&  a\cdot \prod\limits_{i=1}^{n}\left(h(z)-z_i\right) \\  =& a\cdot \prod\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{k(z)}{(z-c)^m}-z_i\right)  \\  =& \frac{1}{(z-c)^{mn}}\cdot\prod\limits_{i=1}^{n}\left(k(z)-(z-c)^mz_i\right).   \end{align*}

    Beachtet man nun, dass \prod\limits_{i=1}^{n}(k(z)-(z-c)^mz_i) eine holomorphe Funktion ist, so folgt, dass p \circ h in c einen Pol der Ordnung mn hat.

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