Examen Herbst 2012, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung

  1. Sei f:\IC\rightarrow\IC eine ganze Funktion mit der Eigenschaft, dass |f(z)|\geq\pi für alle z\in\IC gilt. Zeigen Sie, dass f(z)=f(\pi) für alle z\in\IC gilt.
  2. Sei f:\IC\rightarrow\IC eine ganze Funktion mit der Eigenschaft, dass f(z+1)=f(z)=f(z+i) für alle z\in\IC. Zeigen Sie, dass f konstant ist.

Lösungsvorschlag

  1. Da |f(z)|\geq \pi gilt, verschwindet f nie. Wir dürfen also das Reziproke von f bilden. Nun ist \frac{1}{f} ebenso eine ganze Funktion, welche jedoch durch \frac{1}{\pi} nach oben beschränkt ist. Nach Liouville sind beschränkte ganze Funktionen konstant, also auch f selbst. Also gilt f(z)\equiv c = f(\pi).
  2. Wir zerlegen hierzu die komplexe Ebene in Quadrate mit Flächeninhalt 1 und den Eckpunkten in \IZ + i \IZ. Wegen der doppelten Periodizität sind sämtliche Werte der Funktion f bereits in einem einzigen Quadrat festgelegt. In allen anderen Quadraten wiederholen sich diese Werte lediglich. Da f stetig ist, nimmt sie in einem (abgeschlossenen) Quadrat ihr Maximum m an. Da sich die Werte in allen anderen Quadraten nur wiederholen, entspricht m sogar dem globalen Maximum. Nach dem Satz von Liouville oder dem Maximumprinzip ist somit f eine konstante Funktion[1].
  • [1]Lässt man jedoch Singularitäten in den Gitterpunkten zu, so verirrt man sich in die unfassbar spannende Theorie der elliptischen Funktionen
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