Examen Herbst 2012, Aufgabe 2.1

Aufgabenstellung

Sei B(z_0,r) die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z_0 und Radius r>0 in der komplexen Ebene.

  1. Bestimmen Sie alle Nullstellen und alle isolierten Singularitäten der Funktion

    (1)   \begin{equation*}    f(z)=\frac{z^2(z-4)}{\sin(\pi z)} \end{equation*}

    sowie die Ordnung der Nullstellen und Polstellen von f, so welche vorliegen.

  2. Sei f die Funktion aus Aufgabenteil (a). Bestimmen Sie das Integral

    (2)   \begin{equation*}  \int_{\partial B(\frac{3}{2},1)} f(z)dz. \end{equation*}

  3. Bestimmen Sie das Integral

    (3)   \begin{equation*}  \int_{\partial B(0,4)}\frac{\cos(z)}{(z+1)^3}dz. \end{equation*}

Lösungsvorschlag

  1. Der Zähler z^2(z-4) verschwindet genau in den Punkten z=0 (doppelt) und z=4, der Nenner hingegen genau in den ganzen Zahlen. Die Nullstellen der Sinusfunktion setzen wir hier als bekannt voraus, ebenso wie die Tatsache, dass diese alle einfache Nullstellen sind, was man notfalls mit

    (4)   \begin{equation*}  \left|\lim_{z\rightarrow k\pi}\frac{\sin  z}{(z-k\pi)}\right|\underbrace{=}_{L'Hopital}\left|\lim_{z\rightarrow  k\pi}\frac{\cos z}{1}\right|=1 \end{equation*}

    herleitet. Die Funktion f verschwindet nirgends. Die Nullstelle in 4 wird gehoben, der überbleibenden Nullstelle in 0 nähert sich die Funktion zwar an, die Funktion ist im Ursprung jedoch nicht definiert.
    In jedem Punkt aus \IZ liegt eine isolierte Singularität vor. In 0 und 4 ist sie hebbar, in allen anderen Punkten ist sie erster Ordnung.

  2. In der Kugel B_1\left(\frac{3}{2}\right) liegen genau die isolierten Singularitäten der Punkte 0, 1 und 2. Die Singularität im Ursprung ist hebbar, somit bleiben für die Integralberechnung nur die beiden Pole erster Ordnung. Dort errechnet sich das Residuum durch

        \begin{align*}    Res_1(f)=\lim_{z\rightarrow 1}(z-1)f(z)=\lim_{z\rightarrow    1}\frac{z^2(z-4)(z-1)}{\sin(\pi z)}\\=-4\lim{z\rightarrow 1}\frac{z-1}{\sin    \pi z} = -4 \lim_{z\rightarrow 1}\frac{1}{\pi \cos \pi z} = \frac{4}{\pi}. \end{align*}

    und

        \begin{align*}     Res_2(f)=\lim_{z\rightarrow 2}(z-2)f(z)=\lim_{z\rightarrow     2}\frac{z^2(z-4)(z-2)}{\sin(\pi z)}\\=-8\lim{z\rightarrow 2}\frac{z-2}{\sin     \pi z} = -8 \lim_{z\rightarrow 2}\frac{1}{\pi \cos \pi z} = -\frac{8}{\pi}.  \end{align*}

    Nach dem Residuensatz (mit der Umlaufzahl 1) gilt nun

    (5)   \begin{equation*}  \int_{\partial B}f=2\pi i \sum_{a\in B}Res_a(f)=2\pi  i\left(-\frac{4}{\pi}\right)=-8i. \end{equation*}

  3. Der Nenner (z+1)^3 verschwindet in z=-1. Da der Zähler dort ungleich 0 ist, besitzt die Funktion dort einen Pol dritter Ordnung. Der Punkt z=1 ist im Inneren von B_4(0) enthalten, dort besitzt die Funktion das Residuum

        \begin{align*}  Res_{-1}(f)=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow -1}\frac{\partial^2}{\partial  z^2}(z+1)^3 f(z)\\=\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow -1}(-\cos z)=-\frac{\cos  1}{2}. \end{align*}

    Nach dem Residuensatz folgt nun

    (6)   \begin{equation*}  \int_{\partial B}\frac{\cos z}{(z+1)^3}=-\pi i \cos 1. \end{equation*}

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