Examen Herbst 2012, Aufgabe 1.5

Aufgabenstellung

Sei \IE=\{z\in\IC : |z|<1\} und f:\IC\rightarrow\IC analytisch mit |f(z)-z|<|z| auf dem Rand von \IE. Beweisen Sie, dass |f'(1/2)|\leq 8 gilt, und dass f in \IE genau eine Nullstelle hat.

Lösungsvorschlag

Man definiere eine analytische Funktion g\colon\C\rightarrow\C durch g(z) =  f(z)-z. Es gilt dann g(z)<1 auf dem Rand von \IE. Nach dem Maximumprinzip ist dann entweder g konstant, womit alles Gewünschte sofort folgt, oder es gilt |g(z)|<1 für alle z \in \IE. Aus der Cauchyschen Integralformel erhält man schließlich unter Benutzung der Integralabschätzung

    \begin{align*}  \left|g'\left(\frac{1}{2}\right)\right| = \left|\frac{1!}{2\pi i}\int_{\partial  U_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})}\frac{g(\zeta)}{\zeta-\frac{1}{2}}d\zeta\right|  \leq \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi \cdot \max_{\partial  U_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})} |f| \cdot 2  <2  \end{align*}

Beachtet man nun, dass |f'\left(\frac{1}{2}\right)| =  |g'\left(\frac{1}{2}\right)+1| \leq |g'\left(\frac{1}{2}\right)|+1 < 3, so folgt die erste Behauptung |f'\left(\frac{1}{2}\right)| < 8. Die zweite Behauptung erhält man direkt aus dem Satz von Rouch\'e. Denn aus der Ungleichung auf dem Rand folgt, dass z und f(z)-z+z = f(z) die gleiche Anzahl an Nullstellen, insbesondere also bei eine Nullstelle, im Einheitskreis haben.

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