Examen Herbst 2012, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms p(z)=2z^5-6z^2+z-1 im Ringgebiet 1\leq|z|\leq2. Sind darunter auch reelle Nullstellen?

Lösungsvorschlag

Wir betrachten das Gebiet B_2(0) und die Funktionen f=2z^5 und g=p-f. Nun gilt in B_2(0) die Ungleichung

    \begin{align*}   |g|_{\partial B_2}=&|-6z^2+z+1|_{\partial B_2} \\  \leq& 6|z|_{\partial B_2}^2+|z|_{\partial  B}+|1|_{\partial B_2} \\  =& 27  < 64 = 2|z|_{\partial B_2}^5 \\  =&|2z^5|_{\partial   B}=|f|_{\partial B_2}.  \end{align*}

Nun haben f und f+g=p nach dem Satz von Rouché in B_2(0) gleich viele Nullstellen, also 5 Stück.
Für B_1(0) wähle man die Funktionen f=-6z^2 und g=p-f. Nun gilt

    \begin{align*}   |g|_{\partial B_1}=&|2z^5+z+1|_{\partial B_1} \\  \leq& 2|z|_{\partial B_1}^5+|z|_{\partial B_1}+|1|_{\partial B_1} \\  =& 4 <6=|-6z^2|_{\partial B_1} \\  =& |f|_{\partial B_1}.  \end{align*}

Also haben f und f+g=p nach dem Satz von Rouché in B_1(0) gleich viele Nullstellen, also 2.
Nun hat p in B_2 genau 5 und in B_1 genau 2 Nullstellen, also in B_2\setminus B_1=\{z : 1 \leq |z| < 2\} genau 3 Stück. Den Rand |z|=1 können wir auch ausschließen, da obige Abschätzungen immer strikt waren. Da das Polynom fünften Grades ist, haben wir nach dem Fundamentalsatz der Algebra [1] bereits alle Nullstellen berücksichtigt. Unter ihnen ist mindestens eine reelle Nullstelle, da bekanntermaßen mit z auch \overline{z} eine Nullstelle ist. Die Anzahl nicht reeller Nullstellen ist somit durch 2 teilbar.

  • [1]Georg ist korrekterweise der Meinung, dass man diesen starken Satz hier nicht zu zitieren braucht, da diese Aussage hier bereits dadurch folgt, dass man nach Polynomdivision mit den gefundenen 5 Nullstellen die Existenz einer weiteren ausschließt. Das stimmt, jedoch ist es mir zu umständlich, diese Erklärung immer und immer wieder zu wiederholen.
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