Examen Herbst 2012, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung

  1. Sei g eine positive differenzierbare Funktion. Welche Stammfunktion hat dann die Funktion \frac{g'}{g}?
  2. Bestimmen Sie die Lösung y=\varphi(x) des Anfangswertproblems

    (1)   \begin{equation*}  y'=-xy \log y, y(0)=e \end{equation*}

    und deren maximalen Definitionsbereich. Zeigen Sie, dass die Lösung auf diesem Definitionsbereich der Abschätzung 1<\varphi(x)\leq e genügt und skizzieren Sie den Graphen der Funktion \varphi.

Lösungsvorschlag

  1. Die Funktion \frac{g'}{g} ist allgemein unter dem Namen “logarithmische Ableitung” bekannt. Eine Stammfunktion wäre z.B. die Funktion \log g. Verifiziert wird dies durch eine einfache Differentiation.
  2. Wir trennen die Variablen und erhalten die Gleichung

    (2)   \begin{equation*}   \frac{y'}{y \log y}=-x, y(0)=e  \end{equation*}

oder informeller nach Multiplikation mit dx

(3)   \begin{equation*}   \frac{dy}{y\log y}=-x dx.  \end{equation*}

Integration liefert

    \begin{align*}   \int_e^y\frac{d\xi}{\xi\log \xi} =& \int_0^x-\tau d\tau \\  \Leftrightarrow \log(\log(y)) -\underbrace{\log(\log e)}_0 =& -\frac{x^2}{2} \\  \Leftrightarrow y(x) =& e^{e^{-\frac{x^2}{2}}}.  \end{align*}

Die Gültigkeit der vorherigen Schritte rechtfertigt sich nun. Der maximale Definitionsbereich ist \IR.
Da e^{-\frac{x^2}{2}}>0 ist, ist e^{e^{-\frac{x^2}{2}}}>1. Die Funktion -\frac{x^2}{2} nimmt im Punkt x=0 ihr Maximum an (nach unten geöffnete Parabel). Die strenge Monotonie der Exponentialfunktion erhält diese Eigenschaft, so dass e^{e^{-\frac{x^2}{2}}} in x=0 maximal wird. Dort besitzt sie den Wert e. Also 1<e^{e^{-\frac{x^2}{2}}}\leq 1. Einen Plot der Funktion findet man in Abbildung ??.

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