Examen Herbst 2012, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung

Sei

(1)   \begin{equation*}  A:=\begin{pmatrix}  1 & -1 \\ 1 & 1  \end{pmatrix}\in M(2\times 2,\IR). \end{equation*}

Geben Sie ein Fundamentalsystem reeller Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

(2)   \begin{equation*}  y'=Ay \end{equation*}

an und untersuchen Sie, ob es stabile Lösungen besitzt. Berechnen Sie auch die Lösung , die der Anfangswertbedingung y(0)=(2,0)^T genügt und begründen Sie, warum diese Lösung eindeutig ist.

Lösungsvorschlag

Zur Ermittlung eines Fundamentalsystems bestimmen wir das Matrixexponential von A. Es gilt

(3)   \begin{equation*}  A=\underbrace{\begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 0 & 1  \end{pmatrix}}_E + \underbrace{\begin{pmatrix}  0 & -1 \\ 1 & 0  \end{pmatrix}}_D \end{equation*}

und da die beiden Matrizen E und D kommutieren, gilt

(4)   \begin{equation*}  e^{At}=e^{Et}e^{Dt}. \end{equation*}

Diese beiden Exponentialfunktionen sind bekannt, es gilt also

(5)   \begin{equation*}  e^{At}=e^{Et}e^{Dt}=e^t\begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 0 & 1  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}  \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t  \end{pmatrix}. \end{equation*}

Ein Fundamentalsystem ist somit durch

(6)   \begin{equation*}  \left\{e^t\begin{pmatrix}  \cos t \\ \sin t  \end{pmatrix}, e^t\begin{pmatrix}  -\sin t \\ \cos t  \end{pmatrix}\right\} \end{equation*}

gegeben. Der (einzige) Gleichgewicht obigen Differentialgleichungssystems ist der Ursprung (geht aus der Linearität der Gleichung und der Regularität der Matrix hervor). Dieser ist jedoch instabil, da die Exponentialfunktion e^t für t\rightarrow\infty bestimmt divergiert und die trigonometrischen Funktionen divergieren.
Alle Lösungen sind durch

(7)   \begin{equation*}  \lambda e^t\begin{pmatrix}  \cos t \\ \sin t  \end{pmatrix}+  \mu e^t\begin{pmatrix}  -\sin t \\ \cos t  \end{pmatrix} \end{equation*}

darstellbar. Die Anfangswertbedingung eingesetzt ergibt das Gleichungssystem

(8)   \begin{equation*}  \lambda \begin{pmatrix}  1 \\ 0  \end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}  0 \\ 1  \end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix}  2 \\ 0  \end{pmatrix}. \end{equation*}

Hieraus geht hervor, dass

(9)   \begin{equation*}  y=2e^t\lambda \begin{pmatrix}  \cos t \\ \sin t  \end{pmatrix} \end{equation*}

eine Lösung ist. Sie ist nach den Eindeutigkeitssätzen die einzige solche.

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