Examen Herbst 2012, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung

Sei G\subseteq\IC ein Gebiet und f:G\rightarrow\IC eine holomorphe Funktion. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Bei richtigen Aussagen verweisen Sie auf einen passenden Satz der Funktionentheorie, bei falschen geben Sie ein Gegenbeispiel.

  1. Ist (z_n)_n eine Folge in G mit f(z_n)=0 für alle n, so ist f(z)\equiv 0.
  2. Ist (z_n)_n eine Folge in G mit Häufungspunkt und f(z_n)=0 für alle n, so ist f(z)\equiv 0.
  3. Ist (z_n)_n eine Folge in G mit Häufungspunkt in G und f(z_n)=0 für alle n, so ist f(z)\equiv 0.
  4. Ist f auf G beschränkt, so ist f konstant.
  5. Ist G=\IC\setminus\{0\} und f auf G beschränkt, so ist f konstant.
  6. Ist G=\IC und f auf G beschränkt, so ist f konstant.

Lösungsvorschlag

  1. Dies stimmt nicht. Für G=\IC ist der Sinus mit der Folge z_n:=n\pi ein Gegenbeispiel.
  2. Nein, nicht wenn der Häufungspunkt am Rand liegt. Die Funktion \sin\left(\frac{1}{z}\right) verschwindet in den Punkten \frac{1}{n\pi}, welche sich im Ursprung häufen.
  3. Dies ist eine Formulierung des Identitätssatzes. Hieraus folgt direkt f\equiv 0.
  4. Nein, nicht wenn z.B. G selbst beschränkt ist. Wähle hierfür G als offenen Einheitskreis und f als die Identität. Die Funktion f ist auf G beschränkt, aber nicht konstant.
  5. Dies ist wahr. Da f holomorph auf C\setminus\{0\} ist, folgt aus dessen Beschränktheit, dass die isolierte Singularität im Ursprung hebbar ist (Riemannscher Hebbarkeitssatz). Ansonsten würde die Funktion in einer Umgebung um 0 beliebig große Werte annehmen. Die Fortsetzung von f auf \IC ist nun als beschränkte ganze Funktion konstant (Satz von Liouville). Dies gilt auch für die Einschränkung auf \IC\setminus\{0\}.
  6. Dies folgt direkt aus dem Satz von Liouville.

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