Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung

Sei p:\IR\rightarrow\IR eine stetige Funktion mit

    \begin{equation*}  \gamma=\sup_{t\geq 0}\int_0^tp(s)ds\in\IR.  \end{equation*}

  1. Berechnen Sie für x_0\in\IR die Lösungen x(t) des Anfangswertproblems x'(t)=p(t)e^{x(t)} für t>0 mit x(0)=x_0.
  2. Beweisen Sie: Ist 1>\gamma e^{x_0}, so existiert die Lösung in (a) für alle Zeiten t>0.

Lösungsvorschlag

  1. Das Anfangswertproblem x'(t)=p(t)e^{x(t)}, x(0)=x_0 lässt sich mit Trennung der Variablen lösen. Die Formel direkt angewandt liefert

        \begin{align*} x(t)=&-\log\left(e^{-x_0}-\int_0^tp(s)ds\right) \\=&x_0-\log\left(1-e^{x_0}\int_0^tp(s)ds\right). \end{align*}

  2. Das Existenzintervall von x(t) hängt direkt mit dem Existenzintervall des Logarithmus’ zusammen. Die Singularität im Nullpunkt wird (wegen der Stetigkeit von p(t)) genau dann nicht erreicht, wenn für alle t>0 die Ungleichung

        \begin{equation*} e^{x_0}\int_0^tp(s)ds<1 \end{equation*}

    erfüllt ist. dies ist offensichtlich äquivalent dazu, dass für die kleinste oberere Schranke (das Supremum) der linken Seite

        \begin{equation*} e^{x_0}\sup_{t\geq 0}\int_0^tp(s)ds=\gamma e^{x_0}<1 \end{equation*}

    gilt – was nach Voraussetzung erfüllt ist.

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