Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung

Sei F(x,t)=e^{x^2t^2}+t^2 für t\in\IR und x\in\IR.

  1. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von F.
  2. Bestimmen Sie zu x_0\in\IR alle Lösungen von

    (1)   \begin{equation*}  xt^2x'+t\left(x^2+e^{-x^2t^2}\right)=0,~~~~~x(1)=x_0.    \end{equation*}

  3. Zeigen Sie, dass jede Lösung aus (b) maximal auf einem beschränkten Zeitintervall existiert und geben Sie das Randverhalten der Lösungen an.

Lösungsvorschlag

  1. Die partiellen Ableitungen errechnen sich leicht zu

        \begin{equation*}  \frac{\partial F}{\partial x}(x,t)=2xt^2e^{x^2t^2}  \end{equation*}

    bzw.

        \begin{equation*}  \frac{\partial F}{\partial t}(x,t)=2t(x^2e^{x^2t^2}+1).  \end{equation*}

  2. Das Ergebnis der Teilaufgabe (a) legt nahe, dass bei der Lösung dieser Differentialgleichung ein integrierender Faktor zu suchen ist. Multiplizieren wir die Differentialgleichung (1) mit 2e^{x^2t^2}, so erhalten wir

        \begin{align*}  &2e^{x^2t^2}xt^2x'+2t\left(x^2e^{x^2t^2}+1\right) \\=&\frac{\partial F}{\partial x}(x,t)x'+ \frac{\partial F}{\partial t}(x,t)=0.  \end{align*}

    Diese Differentialgleichung ist somit exakt, und die Funktion F ist ein erstes Integral. Die Lösungen erhalten wir nun, indem wir die Gleichung F(x,t)=c nach x auflösen:

        \begin{align*}  F(x,t)=e^{x^2t^2}+t^2=&c \\ \Rightarrow x^2t^2=&log(c-t^2) \\ \Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{log(c-t^2)}}{t}  \end{align*}

    Hierbei wurden gewisse Anforderungen an c nocht nicht berücksichtigt. Diese Schritte werden aber bei der Bestimmung von c im Nachhinein gerechtfertigt. Ist x(1)=x_0<0, so ist die negative, ansonsten die positive Wurzel zu wählen. Das Anfangswertproblem x(1)=x_0 führt uns direkt zur Bestimmung der Konstanten c:

        \begin{align*}  \sqrt{log(c-1)}=&x_0 \\ \Rightarrow c=&e^{x_0^2}+1.  \end{align*}

    Die Eindeutigkeit der Lösung bezüglich des Anfangswertproblems ergibt sich direkt aus der stetig partiellen Differenzierbarkeit von (1) und dem Satz von Picard-Lindelöf. Somit sind alle Lösungen mit

        \begin{equation*}  x(t)=\frac{\sqrt{log(e^{x_0^2}+1-t^2}}{t}  \end{equation*}

    gefunden.

  3. Da die Funktion in t=0 eine Singularität besitzt, liegt das maximale Existenzintervall I entweder in (-\infty,0) oder (0,\infty). Wegen des Anfangswertproblems muss 1\in I sein, also I\subset (0,\infty) bzw. t>0.
    Für reelle Lösungen darf der Radikant nicht negativ werden. Dies passiert genau dann, wenn das Argument des Logarithmus’ kleiner 1 ist. Also müssen alle t\in I die Ungleichung

        \begin{equation*}  e^{x_0^2}+1-t^2\geq 1  \end{equation*}

    erfüllen. Dies ist der Fall für alle t\leq e^{\frac{1}{2}x_0^2}. Das maximale Existenzintervall ergibt sich somit zu I=(0,e^{\frac{1}{2}x_0^2}].
    Da c>1 ist, bleibt existiert der Grenzwert \lim_{t\rightarrow 0}\sqrt{log(c-t^2)}, so dass

        \begin{equation*}  lim_{t\rightarrow 0}|x(t)|=\infty  \end{equation*}

    ist. Für das Randverhalten an der rechten Intervallgrenze gilt

        \begin{equation*}  \lim_{t\rightarrow e^{\frac{1}{2}x_0^2}}x(t)=0  \end{equation*}

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