Examen Herbst 2011, Aufgabe 3.1

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie für die Differentialgleichung

    \begin{equation*}  y''+\frac{4}{x}y'- \frac{10}{x^2}y=0  \end{equation*}

alle reellen Lösungen y(x) auf dem Intervall (0,\infty). Benutzen Sie dazu die Substitution y(x)=z(\ln x) mit z:\IR\rightarrow\IR oder eine andere Methode Ihrer Wahl.

Lösungsvorschlag

Durch Multiplikation mit x^2 lässt sich diese Differentialgleichung direkt in eine Eulersche Differentialgleichung überführen. Die Lösungen können wir mit dem Hinweis aus der Angabe leicht bestimmen. Dazu substituieren wir y(x)=z(\ln x). Differentiation nach x liefert

    \begin{equation*}  y'(x)=z'(\ln x)\frac{1}{x}  \end{equation*}

und

    \begin{equation*}  y''(x)=z''(\ln x)\frac{1}{x^2}-z'(\ln x)\frac{1}{x^2}.  \end{equation*}

Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich

    \begin{equation*}  z''(\ln x)\frac{1}{x^2}-z'(\ln x)\frac{1}{x^2}+4z'(\ln x)\frac{1}{x^2}-10z(\ln x)\frac{1}{x^2}=0.  \end{equation*}

Multiplikation mit x^2 (möglich, da x\in(0,\infty)) und Substitution x=e^t liefert die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

    \begin{equation*}  z''(t)+3z'(t)-10z(t)=0.  \end{equation*}

Das dazugehörige charakteristische Polynom

    \begin{equation*}  a^2+3a-10=0  \end{equation*}

besitzt die Nullstellen a_1=2, a_2=-5 (Mitternachtsformel), so dass die allgemeine Lösung z_{allg} durch

    \begin{equation*}  z_{allg}(t)=\lambda_1 e^{2t}+\lambda_2 e^{-5t}  \end{equation*}

gegeben ist. Die Rücksubstitution t=\ln x ergibt die finale Lösung

    \begin{equation*}  y_{allg}(t)=\lambda_1 x^2+\lambda_2 x^{-5}.  \end{equation*}

Dies sind alle Lösungen, da aus dem Satz von Picard-Lindelöf zu einer gegebenen Anfangswertbedingung y(t_0)=y_0 für t_0\in(0,\infty) die Lösung eindeutig bestimmt ist.

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