Examen Herbst 2011, Aufgabe 2.5

Aufgabenstellung

Die Gleichung des mathematischen Pendels mit Reibung lautet

    \begin{equation*}  y''(t)+\varepsilon y'(t)+\sin(y(t))=0,~~~~t\geq 0,  \end{equation*}

wobei \varepsilon>0.

  1. Überführen Sie diese Gleichung in das zugehörige System erster Ordnung der Form v'(t)=f(v(t)) für den Vektor v=(y,y').
  2. Bestimmen Sie die kritischen Punkte des Systems aus (a).
  3. Untersuchen Sie die kritischen Punkte auf Stabilität und Instabilität.

Lösungsvorschlag

  1. Betrachten wir den Vektor v(t)=\begin{pmatrix} 	y(t)\\y'(t) \end{pmatrix}, so gilt für dessen Ableitung

    (1)   \begin{equation*} \begin{pmatrix} 	y(t)\\y'(t) \end{pmatrix}'=\begin{pmatrix} 	y'(t)\\-\varepsilon y'(t)-\sin(y(t)) \end{pmatrix}=:f(v(t)).  \end{equation*}

  2. Die kritischen Punkte sind genau die Punkte (y,y')\in\IR^2, für die die Ableitungen aus (1) verschwinden. Aus der ersten Komponente des Vektors geht hervor, dass y'=0 sein muss. Dementsprechend verschwindet die zweite Komponente genau dann, wenn y\in\IZ\pi ist. Die Menge \{(0,k\pi) : k\in\IZ\} enthält also genau die kritischen Punkte.
  3. Linearisieren wir das System (1), so erhalten wir die Matrix

        \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 	0 & 1 \\ -\cos(y) & -\varepsilon \end{pmatrix}. \end{equation*}

    In den Punkten der Menge y\in\{(0,2k\pi:k\in\IZ\}=:M_1 nimmt der Cosinus den Wert 1 an, so dass dort das lineare System

        \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 	0 & 1 \\ -1 & -\varepsilon \end{pmatrix}. \end{equation*}

    lautet. Aus der spur-det-Formel ergeben sich \lambda_{1,2}\frac{-\varepsilon\pm\sqrt{\varepsilon^2-4}}{2} als Eigenwerte. Ist der Radikant negativ, die Wurzel also rein imaginär, so haben beide Eigenwerte negativen Realteil. Ist der Radikant positiv, so sind beide Eigenwerte negativ, da in diesem Fall \sqrt{\varepsilon^2-4}\varepsilon, so dass ein Eigenwert positiv ist. In den Punkten der Menge M_2 liegt also ein instabiler Gleichgewichtspunkt vor. Dieser Sachverhalt wird in Abbildung (??) visualisiert. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.90\textwidth]{images/20011H-5-mathependel.pdf} \caption{Das Phasenportrait des mathematischen Pendels mit Reibung \varepsilon=0.2.} \label{fig:20011H-5-mathependel} \end{figure}

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