Examen Herbst 2011, Aufgabe 2.4

Aufgabenstellung

  1. Lösen Sie das Anfangswertproblem

        \begin{equation*}  y'(t)=e^{y(t)}t^3,~~~~~~y(0)=y_0.  \end{equation*}

    Gibt es Anfangswerte y_0\in\IR, so dass die Lösung auf ganz \IR existiert?

  2. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

        \begin{equation*}  y'(t)-3y(t)=te^{4t},~~~~~~y(1)=2  \end{equation*}

Lösungsvorschlag

  1. Durch die Methode der Trennung der Variablen ergibt sich (informell)

        \begin{align*}  &\frac{dy}{dt}=e^yt^3 \\ \Rightarrow &e^{-y}dy=t^3dt \\ \Rightarrow & \int_{y_0}^ye^{-\xi}d\xi=\int_0^ts^3ds \\ \Rightarrow & -e^{-y}+e^{-y_0}=\frac{t^4}{4} \\ \Rightarrow & y=-\log\left(e^{-y_0}- \frac{t^4}{4}\right).  \end{align*}

    Diese Lösung ist wegen der Stetigkeit der rechten Seite der Differentialgleichung in t und der Lipschitzstetigkeit (weil stetig partiell differenzierbar nach y) in y eindeutig. Da für gegebenes y_0\in\IR zum Zeitpunkt t_{1,2}=\pm\sqrt[4]{4e^{-y_0}} das Argument des Logarithmus’ verschwindet, existiert zu keinem Anfangswert die Lösung auf ganz \IR.

  2. Alle Lösungen y_h des homogenen Teils

        \begin{equation*}  y'(t)-3y(t)=0  \end{equation*}

    sind durch y_h(t)=\lambda e^{3t} gegeben. Eine spezielle Lösung findet sich durch den Ansatz y_s=(at+b)e^{4t}:

        \begin{equation*}  y_s'(t)-3y_s(t)=e^{4t}(at+b+a)=te^{4t}  \end{equation*}

    Ein Koeffizientenvergleich liefert die Werte a=1, b=-1, so dass die allgemeine Lösung x_{allg} der inhomogenen Differentialgleichung durch

        \begin{equation*}  x_{allg}=x_s+x_h=(t-1)e^{4t}+\lambda e^{3t}  \end{equation*}

    bestimmt ist. Setzen wir nun t=1, so ergibt sich aus dem Anfangswertproblem die Gleichung

        \begin{equation*}  \lambda e^3=2,  \end{equation*}

    welche die Lösung \lambda = 2e^{-3} besitzt. Die finale Lösung lautet somit

        \begin{equation*}  y(t)=(t-1)e^{4t}+2e^{3t-3}.  \end{equation*}

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