Examen Herbst 2011, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung

Beantworten Sie die folgenden zwei Fragen zur Funktionentheorie jeweils mit einer kurzen Begründung.

  1. Sei f:\IC\rightarrow\IC holomorph mit f^{(n)}(0)=n für alle n\in\IN_0. Welchen Wert besitzt das Kurvenintegral

    (1)   \begin{equation*}    \frac{1}{2\pi i}\int_{|z-1|=R}\frac{f(z)}{(z-1)}dz \end{equation*}

    für R>0, wobei |z-1|=R den positiv durchlaufenen Kreis um 1 mit Radius R bezeichnet?

  2. Gibt es eine holomorphe Funktion f:\IC\rightarrow\IC mit f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{n}{2n-1} für alle n\in\IN?

Lösungsvorschlag

  1. Das Kurvenintegral

    (2)   \begin{equation*}  \frac{1}{2\pi i}\int_{|z-1|=R} \frac{f(z)}{z-1} dz \end{equation*}

    sollte aus der Cauchyschen Integralformel bekannt sein. Da der Punkt 1 im Inneren der Kurve |z-1|=R liegt, stimmt das Kurvenintegral mit dem Funktionswert f(1) überein. Da wir alle Ableitungen von f im Punkt 0 kennen, entwickeln wir sie in eine Taylorreihe und erhalten

    (3)   \begin{equation*}  f(z)=\sum_{\IN}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n=\sum_{\IN}\frac{z^n}{(n-1)!}=z\sum_{\IN}\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}=ze^z. \end{equation*}

    Somit ist der Wert des Kurvenintegrals f(1)=e.

  2. Wir nehmen an, sie sein holomorph. Dann stimmt sie auf der Folge \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN} mit der Funktion g(z)=\frac{1}{2-z} überein. Wegen der Konvergenz der Folge und der Holomorphie von g in \IC\setminus\{2\} gilt nun nach dem Identitätssatz f\equiv g in \IC\setminus\{2\}. Die Singularität in 2 ist jedoch nicht hebbar, also kann es keine ganze Funktion mit der gewünschten Eigenschaft geben.

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