Examen Herbst 2011, Aufgabe 1.5

Aufgabenstellung

Betrachten Sie die Differentialgleichung

    \begin{align*}  x'=&-3x+y+2y^3 \\ y'=&-4x  \end{align*}

und zeigen Sie die asymptotische Stabilität der Ruhelage (x^*,y^*)=(0,0) sowohl durch Untersuchung der Linearisierung in (x^*,y^*), als auch durch Verwendung der Ljapunow-Funktion

    \begin{equation*}  V(x,y)=4x^2-2xy+y^2+y^4.  \end{equation*}

Lösungsvorschlag

%toppic: Linearisierung,Autonome

  1. Wir zeigen die Behauptung erst durch Linearisierung im Ursprung.
    Die Jakobimatrix von \begin{pmatrix}  	x'\\y'  \end{pmatrix} lautet

        \begin{equation*}  A(x,y):=\begin{pmatrix}  	\frac{\partial x'}{\partial x} & 	\frac{\partial x'}{\partial y} \\ 		\frac{\partial y'}{\partial x} & 	\frac{\partial y'}{\partial y}  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  	-3 & 1+6y^2\\-4&0  \end{pmatrix}.  \end{equation*}

    Das um den Ursprung linearisierte Differentialgleichungssystem lautet

        \begin{equation*}  v'=A(0,0)v=\begin{pmatrix}  	-3 & 1\\-4 & 0  \end{pmatrix}.  \end{equation*}

    Die Eigenwerte ergeben sich nach der spur-det-Formel zu \lambda_{1,2}=\frac{-3\pm i\sqrt{7}}{2}. Alle Eigenwerte des linearisierten Systems besitzen also negativen Realteil, so dass der Ursprung sowohl im linearisierten, als auch im ursprünglichen System eine asymptotisch Stabile Gleichgewichtslage ist.

  2. Das Vektorfeld auf der rechten Seite (=:f) ist stetig differenzierbar, also Lipschitz-stetig. Wir betrachten die stetig differenzierbare Funktion V(x,y)=4x^2-2xy+y^2+y^4. Als orbitale Ableitung (??) ergibt sich nach wenigen Umformungen

        \begin{align*}  \dot{V}(x,y)=&(8x-2y)(-3x+y+y^3)+(-2x+2y+4y^3)(-4x) \\ =&-16x^2+6xy-2y^2-4y^4=-(3x-y)^2-7x^2-y^2-4y^4.  \end{align*}

    da alle Potenzen gerade sind, gilt \dot{V}<0 für alle (x,y)\neq (0,0) und \dot{V}(0,0)=0. Die Funktion V erfüllt somit die Eigenschaften aus (??) für eine Ljapunow-Funktion für f.
    Eine Umformung von V liefert V(x,y)=3x^2+(x-y)^2+y^4, so dass die Funktion offensichtlich ein striktes Minimum im Ursprung besitzt. Nach Satz (??) ist der Usprung also eine asymptotisch stabile Gleichgewichtslage.

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