Examen Herbst 2011, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

(1)   \begin{equation*}  x'(t)=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1  \end{pmatrix}x(t)+  \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2  \end{pmatrix}e^t ~~~~~~~~~~~~x(0)=  \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1  \end{pmatrix}    \end{equation*}

Lösungsvorschlag

Wem die Formel zur direkten Berechnung eines Anfangswertproblem diesen Aufgabentyps entfallen ist, kann diese Aufgabe mit einem alternativen Lösungsansatz lösen.
Schreiben x(t)=(a(t),b(t),c(t))^T als Vektor, so fällt auf, dass die dritte Zeile unseres Systems nur von c(t) abhängt. Diese lautet

(2)   \begin{equation*}  c'(t)=-c(t)+2e^t.  \end{equation*}

Mit c(t)=e^t springt einem eine Lösung der Differentialgleichung direkt entgegen, die gleichzeitig auch das Anfangswertproblem c(0)=1 löst.
Eingesetzt in die zwei übrigen Zeilen ergibt sich nun das System

(3)   \begin{align*}    a'(t)=&-b(t)-3e^t \\ b'(t)&=a(t)+e^t\notag  \end{align*}

mit den Anfangswerten a(0)=1, b(0)=1. Bilden wir nun die zweite Ableitung von a(t), so können wir das System auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung bringen:

(4)   \begin{equation*}  a''(t)=-b'(t)-3e^t=-a(t)-4e^t    \end{equation*}

mit den Anfangswertbedingungen a(0)=1, a'(0)=-4 (Wichtig: Anfangswertbedingungen stets nachkontrollieren!). Eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung a''(t)+a(t)=0 ist direkt duch

(5)   \begin{equation*}  a_{hom}=\lambda_1\cos(t)+\lambda_2\sin(t)  \end{equation*}

gegeben. Eine spezielle Lösung von (4)ist mit dem Ansatz a_{s}=u\cdot e^t zu suchen. Dieser liefert

    \begin{equation*}  a_{s}''(t)+a(t)=a(t)e^t+a(t)e^t=-4e^t~~~~~\Rightarrow a=-2.  \end{equation*}

Der Lösungsraum und seine Ableitung von (4) lautet also

    \begin{align*}  a_{allg}(t)=a_{s}(t)+a_{hom}(t)&=-2e^t+\lambda_1\cos(t)+\lambda_2\sin(t) \\ a_{allg}'(t)=a_{s}'(t)+a_{hom}'(t)&=-2e^t-\lambda_1\sin(t)+\lambda_2\cos(t).  \end{align*}

Einsetzen der Anfangswertbedingung a(0)=1, a'(0)=-4 liefert das lineare Gleichungssystem

    \begin{align*}  -2+\lambda_1 &=1 \\ -2+\lambda_2 &=-4,  \end{align*}

welches die eindeutigen Lösungen \lambda_1=3 und \lambda_2=-2 besitzt. Nun ist a(t)=-2e^t+3\cos(t)-2\sin(t) die eindeutige Lösung hiervon. Die Ableitung a'(t) in (3) eingesetzt liefert uns direkt b(t):

    \begin{equation*}  a'(t)=-2e^t-3\sin(t)-2\cos(t)=-b(t)-3e^t.  \end{equation*}

Aufgelöst nach b(t) erhalten wir nun unsere finale Lösung

    \begin{equation*}  x(t)=  \begin{pmatrix} a(t) \\ b(t) \\ c(t)  \end{pmatrix}=  \begin{pmatrix} -2e^t+3\cos(t)-2\sin(t) \\ -e^t+2\cos(t)+3\sin(t) \\ e^t  \end{pmatrix}.  \end{equation*}

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