Examen Herbst 2011, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung

  1. Es sei P(z):=\sum_{k=0}^na_kz^k mit a_n\neq0 ein Polynom vom Grad n\geq 1 und m\in\{1,\ldots,n\}. Für ein r>0 gelte

    (1)   \begin{equation*}          \sum_{k=0}^n|a_k|r^k<2|a_m|r^m. \end{equation*}

    Zeigen Sie, dass P genau m Nullstellen in U_r(0) und genau n-m Nulsltellen in \IC\setminus\overline{U_r(0)} hat (jeweils mit Vielfachheiten gezählt). Belegen Sie durch ein Beispiel, dass dies im Allgemeinen falsch ist, wenn man nur

    (2)   \begin{equation*}          \sum_{k=0}^n|a_k|r^k\leq2|a_m|r^m.  \end{equation*}

    voraussetzt.

  2. Zeigen Sie, dass

    (3)   \begin{equation*}  \int_{|z|=2}\frac{1}{z^5+12z^2+i}=\int_{|z|=1}\frac{1}{z^5+12z^2+i} \end{equation*}

    gilt. (Hinweis: Wenden Sie (a) an.)

Lösungsvorschlag

Diese Aufgabe liefert tatsächlich ein allgemeines Lösungsrezept für viele Aufgaben, die auf den Satz von Rouché zurückgehen.

  1. Sei P ein solches Polynom. Dann lässt sich die Gleichung (1) äquivalent in

    (4)   \begin{equation*}  \sum_{k\neq m}|a_k|r^k<|a_m|r^m  \end{equation*}

    umformen. Es seien nun die Funktionen

    (5)   \begin{eqnarray*}  f(z)=&\sum_{k\neq m}a_kz^k \\ g(z)=&a_mz^m  \end{eqnarray*}

    gegeben. Nun gilt

    (6)   \begin{eqnarray*}  |f(z)|_{\partial U_r}=&|\sum_{k\neq m}a_kz^k|_{\partial U_r} \\ \leq &\sum_{k\neq m}|a_kz^k|_{\partial U_r} \\ =&\sum_{k\neq m}|a_k|r^k \\ <&|a_m|r^m=|g(z)|_{\partial U_r}.  \end{eqnarray*}

    Nach dem Satz von Rouche haben nun g und f+g=P gleich viele Nullstellen im Inneren von U_r, nämlich genau m. Im Komplement dieser Menge hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra P genau n-m Nullstellen. Da bei der Abschätzung beider Funktionen eine starke Ungleichung gilt, liegt keine Nullstelle auf dem Rand von U_r.
    Dies erläutern wir duch ein Beispiel: Es sei P(z)=1+z. Eingesetzt in die zweite Ungleichung (2) gilt nun auf U_1 die Ungleichung, wegen 1+1\leq 2. P hat nun zwar im Inneren von U_1 keine Nullstelle, jedoch gilt dies auch auf \IC\setminus\overline{U_1}, da die Nullstelle auf dem Rand von U_r liegt. Die Aussage gilt also nur, wenn eine starke Ungleichung gegeben ist.

  2. Der Wert des Kurvenintegrals wird direkt durch die Residuen der Singularitäten des Integranden im Inneren des Integrationsweges bestimmt. Wir zeigen nun durch Teil (a), dass sich die Nullstellen der Funktion P:=z^5+12z^2+i bezüglich der beiden Integrationswege nicht unterscheiden. Entlang |z|=2 gilt nun

    (7)   \begin{equation*}    \sum_{k=0}^n|a_k|2^k=2^5+12\cdot2^2+1=81<96=2\cdot12\cdot2^2.  \end{equation*}

    Die Funktion P hat also auf |z|=2 genau zwei Nullstellen. Entlang |z|=1 gilt nun

    (8)   \begin{equation*}    \sum_{k=0}^n|a_k|2^k=1^5+12\cdot1^2+1=14<24=2\cdot12\cdot1^2.  \end{equation*}

    Die Nullstellen stimmen somit auf beiden Mengen überein. Die Werte der Kurvenintegrale sind somit identisch.

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