Examen Herbst 2011, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung

Es sei \Omega\neq\IC ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien a,b\in\Omega mit a\neq b, und es seien f und g biholomorphe Abbildungen von \Omega auf sich selbst mit f(a)=g(a), f(b)=g(b). Zeigen Sie f=g.

Lösungsvorschlag

Nach dem Riemannschen Abbildungssatz existiert zu je zwei einfach zusammenhängenden Gebieten G und G' eine biholomorphe Abbildung \varphi:G\rightarrow G'. Durch sie wird mittels

    \begin{align*}     \kappa : G\rightarrow & G' \\    \sigma \mapsto \varphi\sigma\varphi^{-1}  \end{align*}

ein Isomorphismus induziert. Es genügt also, die Aussage lediglich auf dem Einheitskreis zu beweisen.
Wir betrachten also die Automorphismen f und g des Einheitskreises. Für die Funktion h:=g^{-1}f gilt nun h(a)=a und h(b)=b. Nach dem Lemma von Schwarz ist die Existenz eines Fixpunktes a bereits eine hinreichende Bedingung dafür, dass h eine Drehung ist.
Somit können wir h darstellen als

(1)   \begin{equation*}   h(z)=e^{i\lambda}z.  \end{equation*}

Da nun der Punkt b ein weiterer Fixpunkt ist, gilt b=h(b)=be^{i\lambda}. Hieraus folgt jedoch e^{i\lambda}=1, also z=h(z)=g^{-1}(h(z)) und somit g=h.

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