Examen Herbst 2011, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

  1. Es sei f:(-1,1)\times\IR\rightarrow\IR, (t,x)\mapsto f(t,x) stetig und lokal Lipschitz-stetig bezüglich x. Dann gibt es für jedes x_0\in\IR eine eindeutige Lösung \varphi(t) des Anfangswertproblems x'(t)=f(t,x), x(0)=x_0, die auf dem Intervall (-1,1) definiert ist, d.h. \varphi:(-1,1)\rightarrow\IR.
  2. Jede Lösung der Differentialgleichung x'(t)=e^{15t}\cos \left(x(t)^7\right) kann auf ganz \IR fortgesetzt werden.

Lösungsvorschlag

  1. Nein, das stimmt nicht. Die Funktion f:=z^{-2}+z^{-1} ist eine Funktion, die eine doppelte Polstelle im Ursprung besitzt. Da sie bereits in Laurentreihen-Darstellung ist, können wir das Residuum ablesen. Dies beträgt 1.
  2. Ja, das stimmt. Es gilt

        \begin{align*}    c\equiv Re(f)+Im(f)=&\frac{f+\overline{f}}{2}+\frac{f-\overline{f}}{2i} \\    =&\frac{1}{2}(f+\overline{f}-if+i\overline{f}) \\    =&\frac{1}{2}\left((1-i)f+(1+i)\overline{f}\right) \\    =& \frac{1}{2}\left((1-i)f+\overline{(1-i)f}\right)=\frac{1}{2}Re((1-i)f). \end{align*}

    Dies zeigt, dass auch der Realteil dieser Funktion konstant ist, und somit auch der Imaginärteil.

  3. Die Eindeutigkeit einer solchen Lösung ist nach dem Satz von Picard-Lindelöf selbstverständlich gegeben, die Existenz der Lösung \varphi auf dem gesamten Definitionsbereich (-1,1) von f(t,x) bereichtet jedoch Probleme. Bekannt ist, dass der Tangens die Differentialgleichung x'=x^2+1 erfüllt, selbst aber für den Anfangswert x(0)=0 nur im Intervall \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) definiert ist. Suchen wir nun eine Differentialgleichung für den “`gestauchten”‘ Tangens \tan(2x), so haben wir ein Gegenbeispiel gefunden, da dieser in einer Umgebung von 0 maximal nur in \left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right) existiert. Die kurze Rechnung

        \begin{equation*} \frac{d}{dt}\tan(2t)=\frac{2}{\cos^2(2t)}=2\cdot(\tan^2(2t)+1) \end{equation*}

    liefert die Differentialgleichung

        \begin{equation*} f:(-1,1)\times\IR\rightarrow\IR \\ (t,x)\mapsto f(t,x)=2(x^2+1). \end{equation*}

    Dieses Vektorfeld ist offensichtlich stetig und lokal Lipschitz-stetig (weil partiell nach x differenzierbar) bezüglich x. Für x_0=0 ist \varphi(t):=\tan(2t) eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems x'=2(x+1), x(0)=0, ist jedoch nicht auf dem gesamten Einheitsintervall definiert, da \frac{\pi}{4}<1

  4. Dies folgt direkt aus dem Satz über die linear beschränkte rechte Seite. Diese lässt sich betragsmäßig durch

        \begin{equation*} |f(t,x)|=\left|e^{15t}\cos(x(t)^7)\right|\leq e^{15t} \end{equation*}

    abschätzen. Gemäß der Notation im Satz über die linear beschränkte rechte Seite setzen wir nun \rho(t):=0 und \sigma(t):=e^{15t}, so dass die Existenz der Lösung der Differentialgleichung x'=f(t,x) auf ganz \IR fortgesetzt werden kann.

    Bemerkung: Alternativ kann man auch den Satz über Ober- und Unterfunktionen mit g_{1,2}(t)=\pm e^{15t} verwenden.

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