Aufgabenstellung
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
- Es sei
stetig und lokal Lipschitz-stetig bezüglich
. Dann gibt es für jedes
eine eindeutige Lösung
des Anfangswertproblems
, die auf dem Intervall
definiert ist, d.h.
.
- Jede Lösung der Differentialgleichung
kann auf ganz
fortgesetzt werden.
Lösungsvorschlag
- Nein, das stimmt nicht. Die Funktion
ist eine Funktion, die eine doppelte Polstelle im Ursprung besitzt. Da sie bereits in Laurentreihen-Darstellung ist, können wir das Residuum ablesen. Dies beträgt
.
- Ja, das stimmt. Es gilt
Dies zeigt, dass auch der Realteil dieser Funktion konstant ist, und somit auch der Imaginärteil.
- Die Eindeutigkeit einer solchen Lösung ist nach dem Satz von Picard-Lindelöf selbstverständlich gegeben, die Existenz der Lösung
auf dem gesamten Definitionsbereich
von
bereichtet jedoch Probleme. Bekannt ist, dass der Tangens die Differentialgleichung
erfüllt, selbst aber für den Anfangswert
nur im Intervall
definiert ist. Suchen wir nun eine Differentialgleichung für den “`gestauchten”‘ Tangens
, so haben wir ein Gegenbeispiel gefunden, da dieser in einer Umgebung von
maximal nur in
existiert. Die kurze Rechnung
liefert die Differentialgleichung
Dieses Vektorfeld ist offensichtlich stetig und lokal Lipschitz-stetig (weil partiell nach
differenzierbar) bezüglich
. Für
ist
eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems
, ist jedoch nicht auf dem gesamten Einheitsintervall definiert, da
- Dies folgt direkt aus dem Satz über die linear beschränkte rechte Seite. Diese lässt sich betragsmäßig durch
abschätzen. Gemäß der Notation im Satz über die linear beschränkte rechte Seite setzen wir nun
Bemerkung: Alternativ kann man auch den Satz über Ober- und Unterfunktionen mitund
, so dass die Existenz der Lösung der Differentialgleichung
auf ganz
fortgesetzt werden kann.
verwenden.