Examen Herbst 2010, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung

Es sei f:\IR^n\rightarrow\IR stetig differenzierbar und x_0=x_0(t) eine T-periodische Lösung der minimalen Periode T>0 von

    \begin{equation*}  x'=f(x).  \end{equation*}

Es sei U(t) ein Fundamentalsystem der sogenannten Variationsgleichung

    \begin{equation*}  y'=Df(x_0(t))y,  \end{equation*}

d.h. die matrixwertige Lösung mit U(0)=I (= \text{Identit\"at}). Dabei ist Df(x_0(t)) die Ableitung (die Jacobi-Matrix) von f in x_0(t).
Zeigen Sie, dass U(T) den Eigenwert 1 hat.

Lösungsvorschlag

Diese Aufgabe schneidet das wahnsinnig interessante Themengebiet der Dynamischen Systeme an. Interessierte finden mehr dazu in (?).
Ist \Phi(t) eine Fundamentalmatrix der Differentialgleichung

(1)   \begin{equation*}  y'=Df(x_0(t))y    \end{equation*}

mit periodischem x_0(t) zur Periode T, so auch die Matrix \Phi(t+T). Dies verifiziert man schnell durch

    \begin{align*}  \Phi(t+T)'=&\Phi'(t+T) \\ =&Df(x_0(t+T))\Phi(t+T) \\ =&Df(x_0(t))\Phi(t+T).  \end{align*}

Betrachtet man das matrixwertige Anfangswertproblem Y(0)=\Phi(T) zur Differentialgleichung (1), so folgt aus dem Satz von Picard-Lindelöf die Gleichung

(2)   \begin{equation*}  \Phi(t+T)=\Phi(t)\Phi(T).    \end{equation*}

Weiterhin garantiert uns der Satz von Picard-Lindelöf, dass für eine vektorwertige Lösung v(t) der Differentialgleichung (1) die Identität

(3)   \begin{equation*}    v(t)=\Phi(t)v(0)  \end{equation*}

gilt. Hierzu betrachte man das Anfangswertproblem im Punkt 0.
Besitzt die Gleichung (1) eine periodische Lösung v(t)=v(t+T) zur Periode T, so gilt U(T)v(0)=v(0), und insbesondere hat U(T) den Eigenwert 1. Es gilt nämlich

    \begin{align*}  \Phi(t)v(0)\stackrel{(\ref{2010-C-5-Eigenwert})}{=} & v(t) \\ \stackrel{Periode}{=} & v(t+T) \\ \stackrel{(\ref{2010-C-5-Eigenwert})}{=} & \Phi(t+T)v(0) \\ \stackrel{(\ref{2010-C-5-Additivitaet})}{=} & \Phi(t)\Phi(T)v(0).  \end{align*}

Da \Phi(t) eine Fundamentalmatrix ist, existiert \Phi^{-1}(t), und die Gleichheit

(4)   \begin{equation*}  v(0)=\Phi(T)v(0)     \end{equation*}

steht schon da.
Wir haben obiges Problem somit derart vereinfacht, dass nur noch die Existenz einer T-periodischen Lösung der Differentialgleichung (1) nachzuweisen ist.
Definiere hierzu mit z(t):=x_0'(t) eine offensichtlich T-periodische Funktion. Da nun die Gleichheit

    \begin{align*}  z'(t)=&(x_0(t))''=f(x_0(t))' \\ =&Df(x_0(t))x_0'(t)=Df(x_0(t))z(t)  \end{align*}

gilt, ist mit x_0'(t) eine T-periodische Lösung von (1) gefunden, so dass nach (4) der Vektor x_0'(0)=z(0) ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 von U(T) ist.

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