Examen Herbst 2010, Aufgabe 3.4

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie alle Lösungen von

    \begin{align*}  x'=&8x+10y \\ y'=&-5x-6y  \end{align*}

und skizzieren Sie das Phasenportrait.

Lösungsvorschlag

Dieses ebene autonome System ist offensichtlich äquivalent zu

    \begin{equation*}  z'=\begin{pmatrix}	8&10\\-5&-6\end{pmatrix}z=:Az  \end{equation*}

mit z=(x,y)^T. Nach der Spur-Det-Formel

    \begin{equation*}\lambda_{1,2}=\frac{1}{2}(spur\pm \sqrt{spur^2-4det})\end{equation*}

sind die Eigenwerte dieser Matrix 1\pm i. Da die Eigenwerte komplex Konjugiert zueinander sind, berechnen wir den komplexen Eigenvektor zu 1+i.

    \begin{align*}  Eig_{1+i}(A)=&ker\begin{pmatrix}	7-i&10\\-5&-7-i\end{pmatrix} \\ =&ker\begin{pmatrix}	5(7-i)&5\cdot 10\\(7-i)\cdot(-5)&(7-i)\cdot(-7-i)\end{pmatrix} \\ =&ker\begin{pmatrix}	35-5i&50\\-35+5i&-50\end{pmatrix} \\ =&\left\langle\begin{pmatrix}1\\-\frac{35-5i}{50}\end{pmatrix}\right\rangle  \end{align*}

Nun sind mit der komplexen Lösung z_c

    \begin{equation*}  z_c:=\begin{pmatrix}1\\-\frac{35-5i}{50}\end{pmatrix}e^{(1+i)t}=\begin{pmatrix}1\\-\frac{35-5i}{50}\end{pmatrix}e^t(\cos t+i\sin t)  \end{equation*}

auch der Realteil Re(z_c) und Imaginärteil Im(z_c) Lösungen der Differentialgleichung. Aus der linearen Unabhängigkeit beider Lösungen folgt aus den Struktursätzen, dass sie ein Fundamentalsystem bilden. Also sind

    \begin{equation*}  \left\langle\begin{pmatrix}1\\-\frac{7}{10}\end{pmatrix}\right\rangle e^t\cos t+  \left\langle\begin{pmatrix}0\\ \frac{1}{10}\end{pmatrix}\right\rangle e^t\sin t  \end{equation*}

alle Lösungen der Differentialgleichung.
\begin{figure}[htb] \subfigure{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/2010H-B-4-phasenportrait.pdf}}\hfill \caption[Phasenportrait von x'=8x+10y, y'=-5x-6y]{Das Phasenportrait der Differentialgleichung. Man sieht, dass der Ursprung ein instabiles Gleichgewicht ist.} \end{figure}

    Leave a Reply