Examen Herbst 2010, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung

Sei

    \begin{equation*}  f(t,x):=\frac{t^2}{(e^x-x)^2}.  \end{equation*}

  1. Zeigen Sie, dass e^x\neq x für alle x\in\IR ist, also dass f auf ganz \IR^2 definiert ist.
  2. Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem

        \begin{align*}  x'(t)&=f(x,t) \\ x(0)&=0  \end{align*}

    eine auf ganz \IR definierte Lösung hat.

Lösungsvorschlag

  1. Betrachte die (konvexe) Funktion g(x)=e^x-x. Die Ableitung g'(x)=e^x-1 liefert ein Minimum bei x=0, und g(0)=1. Somit ist g(x)\geq 1 > 0 und e^x>x.
  2. Die Existenz einer Lösung ist durch den Satz von Peano (oder schärfer: Picard-Lindelöf) gesichert. Diese Behauptung über das Existenzintervall folgt direkt aus dem Satz über die linear beschränkte rechte Seite. Betragsmäßig gilt nach g(x)\geq 1 aus Teilaufgabe (a) die Abschätzung

        \begin{equation*} |f(x,t)|=\left|\frac{t^2}{(e^x-x)^2}\right|\leq t^2. \end{equation*}

    Gemäß der Notation im Satz über die linear beschränkte rechte Seite setzen wir nun \rho(t):=0 und \sigma(t):=t^2, so dass die Existenz einer auf ganz \IR fortsetzbaren Lösung gesichert ist.

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