Examen Herbst 2010, Aufgabe 3.2

Aufgabenstellung

Sei

(1)   \begin{equation*}  A=\{0\}\cup\{\frac{1}{n} : n\in\IN\}. \end{equation*}

Zeigen Sie: Jede auf ganz \IC\setminus A definierte, beschränkte, holomorphe Funktion ist konstant.

Lösungsvorschlag

Die Funktion f hat in jedem Punkt aus A\setminus\{0\} eine isolierte Singularität, da A\setminus\{0\} diskret ist. Durch die Beschränktheit von f liegt in jedem dieser Punkte eine hebbare Singularität vor. Es gibt somit nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz eine holomorphe Funktion g:\IC\setminus\{0\}\rightarrow\IC, die in \IC\setminus A mit f übereinstimmt. Mit f ist auch g beschränkt.
Da nun der Ursprung wegen der Beschränktheit von g eine hebbare Singularität von g ist, lässt sich ein holomorphes h:\IC\rightarrow\IC finden, welches auf \IC\setminus\{0\} mit g und somit auf \IC\setminus A mit f übereinstimmt. Die Funktion h erbt die Beschränktheit von g und ist somit nach dem Satz von Liouville konstant. Dies gilt somit auch für die ursprüngliche Funktion f.

    Leave a Reply