Examen Herbst 2010, Aufgabe 3.1

Aufgabenstellung

Sei f eine in einer Umgebung von \overline{D_2}:=\{z\in\IC : |z|\leq 2\} definierte holomorphe Funktion mit

(1)   \begin{equation*}  |f(z)|\leq 1 /forall z \in \overline{D_2}. \end{equation*}

Zeigen Sie: Für alle z\in\IC mit |z|\leq 1 gilt |f''(z)|\leq 4. (Hinweis: Cauchy-Integralformel.)

Lösungsvorschlag

Es sei \gamma die positiv durchlaufene Kreislinie \partial D_2. Da f auf einer Umgebung dieses Kreises definiert ist, liegt \partial D_2 darin, wir können also entlang \gamma integrieren.
Nun gilt nach der Cauchyschen Integralformel und der Standardabschätzung für Wegintegrale folgende Abschätzung.

    \begin{align*}     |f''(z)|=&|\frac{2!}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^3}d\xi| \\    \leq & \frac{1}{\pi}L(\gamma)||\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^3}||_{||\gamma||} \\    \leq & \frac{1}{\pi}4\pi	=4  \end{align*}

Die Abschätzung ||\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^3}||_{||\gamma||}\leq 1 ist noch etwas zu erklären: Der Zähler ist nach Angabe kleiner 1. Da sich z im Inneren des Einheitskreises befindet, wir jedoch entlang der Linie von \partial D_2 integrieren, wird der Abstand \xi-z| für z<1 und |\xi|=1 minimal 1.

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