Examen Herbst 2010, Aufgabe 2.5

Aufgabenstellung

Man berechne die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

(1)   \begin{equation*}  x''+2x'+4x=\sin t.    \end{equation*}

(Hinweis: Eine partikuläre Lösung ergiebt sich aus dem Ansatz x(t)=a\cos t+b\sin t.)

Lösungsvorschlag

Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Alle Lösungen ergeben sich, indem wir zu einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung addieren. Eine Lösung des homogenen Teils

(2)   \begin{equation*} x''+2x'+4x=0  \end{equation*}

finden wir durch den Ansatz x(t)=e^{\lambda t}. Setzen wir diese Funktion in (2) ein, so müssen wir nur noch die Nullstellen des dazugehörigen Polynoms

    \begin{equation*} \lambda^2+2\lambda+4=0 \end{equation*}

bestimmen. Durch Anwendung der Mitternachtsformel erhalten wir \lambda_{1,2}=-1\pm i\sqrt{3}, so dass die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung (2)

    \begin{equation*} x_{hom}(t)=c_1e^{-t}\cos(t\sqrt{3})+c_2e^{-t}\sin(t\sqrt{3}) \end{equation*}

lautet. Um eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (1) zu erhalten, folgen wir dem Hinweis. Setzen wir x_{part}(t)=a\cos(t)+b\sin(t) in (1) ein, so erhalten wir

    \begin{equation*} \sin(t)=-a\cos(t)-b\sin(t)-2a\sin(t)+2b\cos(t)+4a\cos(t)+4b\sin(t) \end{equation*}

beziehungsweise

    \begin{equation*} \sin(t)=\cos(t)(3a+2b)+\sin(t)(3b-2a). \end{equation*}

Wegen der linearen Unabhängigkeit von Sinus und Cosinus können wir einen Koeffizientenvergleich machen. Dies führt zum linearen Gleichungssystem

    \begin{align*} 3a+2b=&0 \\ 3b-2a=&1. \end{align*}

Dies Lösen wir mit dem Gaußalgorithmus und erhalten als eindeutige Lösung

    \begin{equation*} a=- \frac{2}{13},~~~b=\frac{3}{13}. \end{equation*}

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1) ergibt sich nun zu

    \begin{align*} x_{allg}(t)=&x_{part}(t)+x_{hom}(t) \\ =&- \frac{2}{13}\cos(t)+\frac{3}{13}\sin(t)+c_1e^{-t}\cos(t\sqrt{3})+c_2e^{-t}\sin(t\sqrt{3}). \end{align*}

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