Examen Herbst 2010, Aufgabe 2.4

Aufgabenstellung

Für das Differentialgleichungssystem \begin{pmatrix}  	x'\\y'  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  	y\\x  \end{pmatrix} bestimme man ein nicht-konstantes erstes Integral, d.h. eine nicht-konstante Funktion E:\IR^2\rightarrow\IR, die längs der Lösungskurven \begin{pmatrix}  	x(t)\\y(t)  \end{pmatrix} konstant ist.

Lösungsvorschlag

Um die Existenz eines ersten Integrals zu sichern, betrachten wir die Integrabilitätsbedingungen gemäß Satz (bla). Diese sind jedoch offensichtlich erfüllt, da

    \begin{equation*} \frac{\partial y}{\partial x}=0=\frac{\partial x}{\partial y} \end{equation*}

ist. Das erste Integral E existiert somit und hat die Eigenschaft

    \begin{equation*} \frac{\partial E}{\partial x}=y'=x,~~\frac{\partial E}{\partial y}=-x'=-y. \end{equation*}

Somit gilt

    \begin{align*} E(x,y)=&\int -y dy =-\frac{y^2}{2}+g_1(x) \\ =&\int x dx = \frac{x^2}{2}+g_2(y), \end{align*}

also ist E(x,y)=\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2} ein nicht konstantes erstes Integral.

Anmerkung 1: Oft lohnt sich es aus zeitlichen Gründen, ein erstes Integral vom Himmel fallen zu lassen und dessen Gültigkeit im Nachhinein zu beweisen. Hierfür setze man x(t),y(t) in das erste Integral ein und bilde die totale Ableitung nach t.

Anmerkung 2: Im ersten Integral stecken implizit die Lösungskurven obigen Differentialgleichungssystems. Da die totale Ableitung verschwindet, ist ein erstes Integral konstant bezüglich der Lösungskurven. Setzt man nun obiges E(x,y)=c, so hat man direkt eine Hyperbelgleichung, diese Information ist gerade zum Zeichnen des Phasenportraits wichtig. Weiterhin überzeuge man sich, dass der Cosinus hyperbolicus bzw. Sinus hyperbolicus das Differentialgleichungssystem lösen.

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