Examen Herbst 2010, Aufgabe 2.3

Aufgabenstellung

Man bestimme die Laurent-Entwicklung von f(z:=\frac{z}{(z-1)(z-2)}) in der Kreisscheibe \{z\in\IC : |z|<1\} und in den Kreisringen \{z\in\IC :  1<|z|<2\} und \{z\in\IC : 2 < |z|\}.
(Hinweis: Man verwende Partialbruchzerlegung.)

Lösungsvorschlag

Durch den Ansatz zur Partialbruchzerlegung

(1)   \begin{equation*}  \frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-2}=\frac{z}{(z-1)(z-2)} \end{equation*}

findet man schnell die Gleichung

(2)   \begin{equation*}  \frac{z}{(z-1)(z-2)}=\frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2}. \end{equation*}

  1. Da sowohl |z|<1 als auch |\frac{z}{2}|<1 für |z<1| gilt, sind folgende Brüche Grenzwerte entsprechender geometrischer Reihen.

        \begin{align*}    \frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2}= & \frac{1}{1-z}-\frac{1}{1-\frac{z}{2}} =    \sum_{k=0}^\infty z^k-\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{z}{2}\right)^k \\    =& \sum_{k=0}^\infty \left(1-\frac{1}{2^k}\right)z^k \end{align*}

  2. Da sowohl |\frac{1}{z}|<1 als auch |\frac{z}{2}|<1 f+r 1<|z|<2 gilt, sind folgende Brüche Grenzwerte entsprechender geometrischer Reihen.

        \begin{align*}    \frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2} =&    -\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}-\frac{1}{1-\frac{z}{2}} \\    =&-\frac{1}{z}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{z}\right)^k-\sum_{k=0}^\infty\left(\f\frac{z}{2}^k\right) \\    =&-\sum_{k=0}^\infty z^{-k}-\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^kz^k \\    =&\sum_{k=-\infty}^1-z^k+\sum_{k=0}^\infty-\left(\frac{1}{2}\right)^kz^k \end{align*}

  3. Da sowohl |\frac{1}{z}|<1 als auch |\frac{2}{z}|2 gilt, sind folgende Brüche Grenzwerte entsprechender geometrischer Reihen:

        \begin{align*}    \frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2}=&-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}+\frac{2}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{z}} \\    =&-\frac{1}{z}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{z}\right)^k+\frac{2}{z}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{2}{z}\right)^k \\    =&-\sum_{k=1}^\infty0\sum_{k=1}^\infty2^kz^{-k} \\    =&\sum_{k=1}^\infty(-1+2^k)z^{-k}=\sum_{k=-\infty}^1(-1+2^{-k})z^k \end{align*}

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