Examen Herbst 2010, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung

Gegeben sei die Möbius-Transformation h(z):=\frac{1}{z-1}. Sei \IE\subset\IC die offene Einheitskreisscheibe und K\subset\IC die abgeschlossene Kreisscheibe \{z\in\IC:|z-\frac{1}{2}\leq\frac{1}{2}\}. Mit \partial\IE und \partial K werde der Rand von \IE bzw. K bezeichnet.

  1. Man zeige, dass h(\partial\IE) und h(\partial K) parallele Geraden sind.
  2. Man gebe die Geraden h(\partial\IE) und h(\partial K) jeweils explizit in der Form ax+by=c an, wobei x und y Real- bzw. Imaginärteil von z\in\IC sind.
  3. Man bestimme h(\IE\setminus K) explizit durch Ungleichungen der Form ax+by\gtrless c und skizziere die Mengen \IE\setminus K und h(\IE\setminus K).

Lösungsvorschlag

Angenommen, es gäbe ein z_0\in\IE, so dass |f(z_0)|=1 wäre. Da \IE offen ist, wäre in z_0 ein lokales Maximum. Das ist nach dem Maximumsprinzip nur bei konstanten Funktionen möglich. Somit ist der Widerspruch bereits mit

(1)   \begin{equation*}  1=|f(z_0)|=|f(0)|<1 \end{equation*}

erreicht.

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