Examen Herbst 2010, Aufgabe 1.5

Aufgabenstellung

  1. Formulieren Sie den Identitätssatz für holomorphe Funktionen.
  2. Für r>\frac{1}{2} sei D_r:=\{z\in\IC : |z|<r\}. Für welche r gibt es eine holomorphe Funktion f:D_r\rightarrow\IC mit f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n-1} für n=2,3,4,\ldots?

Lösungsvorschlag

  1. Sei G\subset\IC ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f,g auf G holomorphe Funktionen, so sind folgende Aussagen äquivalent:
    • f(z)=g(z) für z\in G
    • Die Menge \{z\in G : f(z)=g(z)\} häuft sich in G
    • Es gibt ein c\in G, so dass f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c) für alle n\in\IN_0 gilt.
  2. Betrachte auf \IC\setminus\{1\} die Funkton

    (1)   \begin{equation*}  g(z):=\frac{1}{\frac{1}{z}-1}=\frac{u}{1-z}. \end{equation*}

    Da g entlang der Folge \left(\frac{1}{n}\right), 1<n\in\IN genau mit f übereinstimmt, ist g die einzige holomorphe Funktion mit dieser Eigenschaft. Auf allen Kreisen D_r mit \frac{1}{2}<r<1 ist die Existenz somit gesichert. Wäre r\geq 1, so würde der Punkt 1 im Definitionsbereich enthalten sein. Da die Funktion f jedoch mit g übereinstimmt und g dort eine Singularität besitzt, kann dies nicht eintreffen.

    Leave a Reply