Examen Herbst 2010, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung

Zeigen Sie mit Hilfe des Residuensatzes, dass

(1)   \begin{equation*}  I:=\int_0^{2\pi}\frac{dt}{5+3\cos t}=\frac{\pi}{2} \end{equation*}

ist.

Lösungsvorschlag

Um das Integral in eine einfachere Form zu bringen führen wir die Substitution z:=&e^{it} durch. Der Integrationsweg wird von [0,2\pi] zum Rand des Einheitskreises \partial  \IE, der Differenzialoperator dt wird durch dz=ie^{it}dt=iz dt zu dt=\frac{dz}{iz} und der Cosinus vereinfacht sich durch \cos(t)  =\frac{1}{2}(e^{it}+e^{-it})=\frac{1}{2}(z+z^{-1}).
Nun lässt sich das reelle Integral auf ein Kurvenintegral bringen und mit dem Residuensatz lösen. Wir greifen jetzt schon vorweg, dass der Integrand nur die einfache Polstelle -\frac{1}{3} im Inneren von \IE besitzt.

    \begin{align*}     \int_0^{2\pi}\frac{dt}{5+\cos(t)}=&\int_{\partial\IE}\frac{1}{5+3\frac{1}{2}(z+z^{-1})}\frac{1}{iz}dz \\    =&\frac{1}{i}\int_{\partial\IE}\frac{1}{5z+\frac{3}{2}z^2+\frac{3}{2}}dz \\    =&\frac{1}{i}\int_{\partial\IE}\frac{\frac{1}{2}}{(z+3)(3z+1)}dz \\    =&2\pi Res_{-\frac{1}{3}} \frac{2}{(z+3)(3z+1)} \\    =&2\pi\lim_{z\rightarrow-\frac{1}{3}}(z+\frac{1}{3})\frac{2}{(z+3)(3z+1)} \\    =&2\pi\frac{2}{3(3-\frac{1}{3})}=\frac{4\pi}{8}=\frac{\pi}{2}  \end{align*}

    Leave a Reply