Examen Herbst 2010, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung

  1. Beschreiben Sie ein Lösungsverfahren für die Bernoulli-Differentialgleichung

        \begin{equation*}  y'=p(x)y+q(x)y^\tau,  \end{equation*}

    wobei p und q stetige Funktionen und \tau\in\IR\setminus\{0;1\} seien.

    Hinweis: Verwenden Sie eine Transformation der Form z:=y^\alpha mit geeignetem \alpha.

  2. Berechnen Sie mit dem in (a) beschriebenen Verfahren eine Lösung des Anfangswertproblems

        \begin{equation*}  y'=x \sqrt{y}-y,~~~~~~~y(0)=4.  \end{equation*}

Lösungsvorschlag

  1. Die Lösungsidee basiert darauf, dass man die Bernoulli-Differentialgleichung mit der im Hinweis angegebenen Substitution mit \alpha=1-\tau auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung zurückführt, die man dann mit der Variation der Konstanten lösen kann. In Hinblick auf (b) leiten wir für die gegebene Anfangswertbedingung y(x_0)=y_0 eine explizite Formel her. Da nur eine Beschreibung des Lösungsverfahrens gefordert war, geht diese Formel weit über die Aufgabenstellung heraus.

    Gegeben sei das Anfangswertproblem y'=p(x)y+q(x)y^\tau, y(x_0)=y_0. Substituiere nun z=y^{1-\tau}. Dies liefert die Differentialgleichung

        \begin{equation*}  z'=(1-\tau)y^{-\tau}y'.  \end{equation*}

    Die Differentialgleichung für y' eingesetzt liefert

        \begin{align*}  z'=&(1-\tau)\left(p(x)y^{1-\tau}+q(x)\right) \\ =&(1-\tau)p(x)z+(1-\tau)q(x)  \end{align*}

    mit z(x_0)=y_0^{1-\tau}=:z_0. Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung, die sich durch die Methode der Variation der Konstanten lösen lässt. Die Lösung z_h des homogenen Teils z'=(1-\tau)p(x)z liefert

        \begin{equation*}  z_h=z_0\exp\left(\int_{x_0}^x(1-\tau)p(t)dt\right)=:z_0\exp(P(x)).  \end{equation*}

    Als Ansatz für eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems setzt man

        \begin{equation*}  z_s(x)=c(x)\exp(P(x)).  \end{equation*}

    Abgeleitet ergibt diese Funktion

        \begin{align*}  z_s'(x)=&c'(x)\exp(P(x))+c(x)(1-\tau)p(x)\exp(P(x)) \\ =&(1-\tau)p(x)z_s(x)+c'(x)\exp(P(x)).  \end{align*}

    Nun löst z_s die inhomogene Differentialgleichung, wenn c'(x)=(1-\tau)q(x)\exp(-P(x)) gilt.

        \begin{equation*}  c(x)=\int_{x_0}^x(1-\tau)q(t)exp(-P(t))dt  \end{equation*}

    ist eine solche Lösung und somit ist

        \begin{equation*}  z_s(x)=\exp(P(x))\int_{x_0}^x(1-\tau)q(t)\exp(-P(t))dt  \end{equation*}

    eine spezielle Lösung. Zusammengesetzt (z=z_s+z_h) ergibt sich als Lösung des Anfangswertproblems für z der Ausdruck

        \begin{equation*}  z(x)=&\exp(P(x))\cdot\left(z_0+\int_{x_0}^x(1-\tau)q(t)\exp(-P(t))dt\right).  \end{equation*}

    Schreibt man diese Formel aus und führt die Rücksubstitution y=z^{1/(1-\tau)} durch, ergibt sich das typographische Monster

        \begin{align*}  y(x)=&\left(\exp\left(\int_{x_0}^x(1-\tau)p(t)dt\right)\cdot\right. \\ \cdot &\left.\left(y^{1-\tau}+\int_{x_0}^x(1-\tau)q(t)\exp\left(-\int_{x_0}^t(1-\tau)p(\xi)d\xi\right)dt\right)\right)^{\frac{1}{1-\tau}}.  \end{align*}

  2. Explizit für dieses Beispiel setzen wir die Werte

        \begin{equation*}  x_0=0,~~y_0=4~~\tau=\frac{1}{2},~~p(x)=-1,~~q(x)=x  \end{equation*}

    in die Formel ein und erhalten

        \begin{align*}  y(x)=&\exp\left(\int_0^x- \frac{1}{2}dt\right)^2\cdot\left(\sqrt{4}+\int_0^x- \frac{1}{2}\exp\left(-\int_0^t- \frac{1}{2}d\xi\right)dt\right)^2 \\ =&e^{-x}\cdot\left(2+\int_0^x \frac{t}{2}e^{\frac{t}{2}}dt\right)^2 \\ =&e^{-x}\cdot\left(4+(-2+x)e^{\frac{x}{2}}\right)^2  \end{align*}

    Anmerkung: Die Stetigkeit von p und q sorgt dafür, dass wenigstens eine Lösung existiert. Die im Beispiel auftretende Wurzel verhindert die Lipschitz-stetigkeit der rechten Seite in y, so dass die gefundene Lösung nicht eindeutig ist. Tatsächlich findet man eine wesentlich einfachere Lösung des Anfangswertproblems mit der Funktion

        \begin{equation*}  y_{einfach}=(x-2)^2.  \end{equation*}

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