Examen Herbst 2009, Aufgabe 3.5

Aufgabenstellung

Finden Sie die allgemeine Lösung des linearen homogenen Systems

    \begin{equation*}  \omega'=\begin{pmatrix}  	\lambda & 1\ & \lambda  \end{pmatrix}\omega  \end{equation*}

für \omega:\IR\rightarrow\IR^2,\lambda<0. Welchen Typs ist das Gleichgewicht \begin{pmatrix}  	0\  \end{pmatrix}?
Skizzieren Sie das Phasenportrait, begründen Sie seine Hauptmerkmale.

Lösungsvorschlag

Der einzige Eigenwert der Matrix (ab sofort A) lässt sich direkt ablesen. Dieser ist \lambda mit der algebraischen Vielfachheit 2 und der geometrischen Vielfachheit 1. Die Matrix ist bereits in Jordannormalform, so dass wir die Matrixeponentialfunktion direkt angeben können.

    \begin{equation*} e^{At}=\begin{pmatrix} 	e^{\lambda t} & te^{\lambda t}\&e^{\lambda t} \end{pmatrix} \end{equation*}

Die allgemeine Lösung lässt sich als beliebige Linearkombination der Spalten der Maxtrixexponentialfunktion angeben. Sie lautet

    \begin{equation*} \omega_{allg}(t)=c_1 \begin{pmatrix} 	1\ \end{pmatrix}e^{\lambda t}+c_2 \begin{pmatrix} 	t\\1 \end{pmatrix}e^{\lambda t}. \end{equation*}

Der Nullpunkt ist ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht, was sich direkt aus den Eigenwerten (\lambda <0) oder für t\rightarrow\infty aus der allgemeinen Lösung ablesen lässt. Der Ursprung ist offensichtlich die einzige Gleichgewichtslage. Lösungen, die auf dem Unterraum \left\langle \begin{pmatrix} 	1\ \end{pmatrix}\right\rangle starten (o.E. zum Zeitpunkt t=0), besitzen für geeignetes c_1\in\IR die eindeutige Lösung

    \begin{equation*} c_1 \begin{pmatrix} 	1\ \end{pmatrix}e^{\lambda t} \end{equation*}

und verbleiben somit im Unterraum für alle t\in\IR. Lösungen, die auf dem Unterraum \left\langle \begin{pmatrix} 	0\\1 \end{pmatrix}\right\rangle starten, besitzen für geeignetes c_2\in\IR die eindeutige Lösung

    \begin{equation*} c_2 \begin{pmatrix} 	t\\1 \end{pmatrix}e^{\lambda t} \end{equation*}

. Für wachsendes t wird die Lösung im Uhrzeigersinn abgelenkt. Dies hat zur Folge, dass der Ursprung die Form eines eintangentigen stabilen Knotens besitzt. Diese Erkenntnisse führen zum Phasenportrait (??). \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/2009H/2009H-phasenportrait.pdf} \caption{Das Phasenportrait des Differentialgleichungssystems. Die Informationen über Stabilität, Art des Knotens sowie Verlauf im Uhrzeigersinn fließen in die Skizze ein.} \label{2009H-phasenportrait} \end{figure}

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