Examen Herbst 2009, Aufgabe 3.3

Aufgabenstellung

Berechnen Sie unter Verwendung eines Integrationsweges, der von 0 über R über Rd^{2i\pi/3} zurück nach 0 verläuft, das Integral

(1)   \begin{equation*}  \int_0^\infty\frac{dx}{1+x^3}. \end{equation*}

Lösungsvorschlag

Es sei f(x):=\frac{1}{1+x^3}. Da \frac{1}{x^2} eine konvergente Majorante ist, konvergiert das gesuchte Integral.
Die Funktion f lässt sich auf \IC\setminus\{z:z^3=-1\} holomorph fortsetzen. In den dritten Einheitswurzeln \{-1,e^{\frac{\pi i}{3}}, e^{\frac{5\pi  i}{3}}\} hat f Pole erster Ordnung. Wir integrieren nun entlang folgenden Weges \alpha_R+\beta_R+\gamma_R mit R>1:

    \begin{align*}     \alpha_R:[0,R)\rightarrow\IC, & t\mapsto t \\    \beta_R:[0,\frac{2\pi}{3})\rightarrow\IC, & t\mapsto Re^{it} \\    \gamma_R:[0,R]\rightarrow\IC, & t\mapsto (R-t)e^{\frac{2\pi i}{3}}.  \end{align*}

Der Punkt e^{\frac{\pi i}{3}} ist der einzige Pol von f im Inneren dieses Integrationsweges. Sein Residuum berechnet sich mit der Regel von l’Hopital zu

(2)   \begin{equation*}   \lim_{z\rightarrow e^{\frac{\pi i}{3}}}\frac{z-e^{\frac{\pi   i}{3}}}{1+z^3}=\lim_{z\rightarrow e^{\frac{\pi   i}{3z^2}}}=\frac{1}{3e^{\frac{2\pi i}{3}}}.  \end{equation*}

Aus dem Residuensatz folgt nun

(3)   \begin{equation*}   \int_{\alpha_R+\beta_R+\gamma_R}f(z)dz=2\pi i Res_{e^{\frac{\pi   i}{3}}}(f)=\frac{2\pi i}{3e^{\frac{2\pi i}{3}}}.  \end{equation*}

Die Einzelintegrale berechnen sich für R\rightarrow\infty zu

  • \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{\alpha_R}f(z)dz=\int_0^\infty f(x)dx.
  • Nach dem Satz über das Wachstum rationaler Funktionen gibt es ein M>0, so dass für große R die Ungleichung |f(z)|\leq\frac{M}{z^3} für alle z\in\IC, |z|>R gilt. Somit gilt nach der Standardabschätzung für Wegintegrale

    (4)   \begin{equation*}   \left|\int_{\beta_R}f(z)dz\right|\leq\left\|f(z)\right\|_{|\beta_R|}L(\beta_R)\leq\frac{M}{R^3}\frac{2\pi   R}{3}\rightarrow 0.  \end{equation*}

  • Da der Weg -\gamma : [0,R]\rightarrow\IC, t\rightarrow  te^{\frac{2\pi i}{3}} die einfacherere Parameterdarstellung hat, berechnen wir das Integral leichter durch

        \begin{align*}   \int_{\gamma_R}f(z)dz= & -\int_{-\gamma_R}f(z)dz \\  = & -\int_0^R\frac{1}{1+t^3e^{\frac{2\pi i}{3}}} \cdot e^{\frac{2\pi i}{3}} dt \\  = & -e^{\frac{2\pi i}{3}}\int_0^R\frac{1}{1+t^3} \\  \rightarrow &-e^{\frac{2\pi i}{3}}\int_0^\infty f(x)dx  \end{align*}

    Der Integralwert entlang der Verkettung der drei Teilwege entspricht der Summe der Integrale über jeden Teilweg. Im Grenzwert ergibt dies nun

    (5)   \begin{equation*}     \int_{\alpha+\beta+\gamma}f(z)dz=\int_0^\infty     f(x)dx\left(1-e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)=\frac{2\pi i}{3e^{\frac{2\pi     i}{3}}}.  \end{equation*}

    Nnach dem in der Angabe gesuchten Integral aufgelöst ergibt dies

        \begin{align*}     \int_0^\infty f(x)dx=&\frac{2\pi i}{3e^{\frac{2\pi i}{3}(1-e^{\frac{2\pi   i}{3}})}} \\  =&\frac{2\pi i}{3(e^{\frac{2\pi i}{3}}-e^{\frac{4\pi i}{3}})} \\  =&\frac{2\pi   i}{3\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}.  \end{align*}

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