Examen Herbst 2009, Aufgabe 3.2

Aufgabenstellung

Seien (a_n) und (b_n) Folgen komplexer Zahlen mit

(1)   \begin{equation*}  \sum_{n=1}^\infty |a_n-b_n|<\infty. \end{equation*}

Zeigen Sie, dass das Produkt

(2)   \begin{equation*}  \prod_{n=1}^\infty\frac{z-a_n}{z-b_n} \end{equation*}

für alle z\in\IC außerhalb des Abschlusses von \{b_1,b_2,\ldots\} konvergiert.

Lösungsvorschlag

Wir geben uns ein beliebiges z außerhalb des Abschlusses von \{b_1,b_2,\ldots\} vor. Nun gibt es ein \varepsilon>0 mit |z-b_n|>\varepsilon>0 für alle n\in\IN.
Nach dem Konvergenzkriterium für Produkte gilt nun

    \begin{align*}     \prod_\IN \frac{z-a_n}{z-b_n} &\text{  konvergiert} \Leftrightarrow \\    \sum_\IN \left(\frac{z-a_n}{z-b_n}-1\right) &\text{  konvergiert} \Leftrightarrow \\    \sum_\IN \frac{b_n-a_n}{z-b_n} &\text{  konvergiert}.  \end{align*}

Aus der Abschätzung

(3)   \begin{equation*}     \left|\sum_\IN \frac{b_n-a_n}{z-b_n}\right| \leq   \sum_\IN     \left|\frac{b_n-a_n}{z-b_n}\right| \leq \frac{1}{\varepsilon}\sum_\IN     \left|b_n-a_n\right| < \infty  \end{equation*}

folgt schlussendlich die Behauptung.

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