Examen Herbst 2009, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung

Gegeben sei die skalare Differentialgleichung

(1)   \begin{equation*}  x'(2x^3+2x+2xt^2)=-2t^3-2x^2t.    \end{equation*}

Man zeige, dass jede Lösung x(t)

  1. beschränkt bleibt,
  2. nicht für alle Zeiten t\in\IR existiert.

Hinweis: Man finde ein geeignetes erstes Integral F:\IR^2\rightarrow\IR, so dass F(x(t),t) unabhängig von t ist.

Lösungsvorschlag

Um zu testen, ob diese Differentialgleichung exakt ist, überprüfen wir die Integrabilitätsbedingung. Hierzu schreiben wir (1) in unsere gewohnte Form

    \begin{equation*} \underbrace{(2t^3+2x^2t)dt}_{P}+ \underbrace{(2x^3+2x+2xt^2)}_{Q} \end{equation*}

und zeigen durch P_x=4xt=Q_t, dass diese Differentialgleichung exakt ist. Durch Integration erhalten wir nun mit

    \begin{align*} \int Pdt=&\frac{t^4}{2}+x^2t^2+f(x) \\ \stackrel{=}{!}&\frac{x^4}{2}+x^2+x^2t^2+g(t)=\int Qdt \\ \Rightarrow & \frac{t^4}{2}+x^2(t^2+1)+ \frac{x^4}{2}=:F(x,t) \end{align*}

ein geeignetes erstes Integral F(x,t), welches entlang einer Lösung x(t) stets konstant bleibt, also F(x(t),t)=c. Explizite Lösungen bekommen wir nun, indem wir F(x,t)-c=0 nach x aufzulösen versuchen.

    \begin{align*} 0=&\frac{x^4}{2}+x^2(t^2+1)+\frac{t^4}{2}-c \\ \Rightarrow x_{1,2,3,4}=&\pm \sqrt{-(t^2+1)\pm \sqrt{(t^2+1)^2-2(t^4-c)}} \\ =&\pm \sqrt{-t^2-1\pm \sqrt{2t^2+1+2c}} \end{align*}

Von diesen Lösungen lassen sich bereits welche ausschließen. Das zweite \pm-Symbol lässt sich durch ein Plus ersetzen, da sonst der Radikant stets negativ wäre. Die Untersuchung für Aufgabe (a) und (b) lässt sich aus Symmetriegründen auf den positiven Fall reduzieren. Der Radikant wird genau dann positiv, wenn \begin{align*} \Rightarrow \sqrt{2t^2+1+2c}0$ sein.

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