Examen Herbst 2009, Aufgabe 2.1

Aufgabenstellung

Man bestimme alle Gleichgewichtspunkte des ebenen autonomen Systems

    \begin{align*}  x'=&2-xy \\ y'=& \frac{x}{2}-y^3  \end{align*}

und untersuche jeden der Gleichgewichtspunkte auf Stabilität, asymptotische Stabilität bzw. Instabilität.

Lösungsvorschlag

Die Gleichgewichtspunkte des autonomen Systems sind genau die Punkte (x,y)\in\IR^2, in denen die Ableitungen verschwinden. Dies führt zum Gleichungssystem

    \begin{align*}  0=& 2-xy \\ 0=& \frac{x}{2}-y^3.  \end{align*}

Da nach der ersten Gleichung weder x noch y verschwinden dürfen, gilt x= \frac{2}{y}. Eingesetzt in die zweite Gleichung erhält man \frac{1}{y}-y^3=0 bzw. 1-y^4=0. Alle reellen Lösungen sind somit durch (x_1,y_1)=(-2,-1) und (x_2,y_2)=(2,1) gegeben. Der Satz über die linearisierte asymptotische Stabilität liefert einen geeigneten Ansatz. Die Linearisierung des Systems liefert

    \begin{equation*}  \begin{pmatrix}  	\frac{\partial x'}{\partial x} &   	\frac{\partial x'}{\partial y} \\ 	\frac{\partial y'}{\partial x} &  	\frac{\partial y'}{\partial y}  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  	-y & -x \\ \frac{1}{2} & -3y^2  \end{pmatrix}.  \end{equation*}

Ausgewertet an den Stellen (x_1,y_1) und (x_2,y_2) ergeben sich die Matrizen

    \begin{equation*}  A_1=\begin{pmatrix}  	1 & 2 \\ \frac{1}{2} & -3  \end{pmatrix} ~~~~\text{bzw.}~~~~A_2=\begin{pmatrix}  	-1 & -2 \\ \frac{1}{2} & -3  \end{pmatrix},  \end{equation*}

deren Eigenwerte eventuell eine Charakterisierung der Gleichgewichtspunkte ermöglichen. Nach der spur-det-Formel für 2\times 2-Matrizen ergeben sich für A_1 die Eigenwerte \lambda_{1;1,2}=-1\pm\sqrt{5}, für A_2 der doppelte Eigenwert \lambda_{2;1,2}=-2.
Da nun A_1 einen Eigenwert mit positivem Realteil besitzt, ist der Gleichgewichtspunkt (x_1,y_1)=(-2,-1) instabil. Alle Eigenwerte der Matrix A_2 haben negativen Realteil, so dass der Gleichgewichtspunkt (x_2,y_2)=(2,1) asymptotisch stabil, also insbesondere auch stabil ist.
\begin{figure}[htb] \subfigure[Phasenportrait um den Punkt (-2,-1)]{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{images/2009H-A-1-instabilnormal.pdf}}\hfill \subfigure[Phasenportrait um den Punkt (2,1)]{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{images/2009H-A-1-stabilnormal.pdf}}
\caption{Phasenportrait des Differentialgleichungssystems in der Nähe der Gleichgewichtspunkte. Dieses ähnelt sehr den Phasenportraits des jeweils linearisierten Differentialgleichungssystems um den Ursprung.} \end{figure}

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