Examen Herbst 2009, Aufgabe 1.4

Aufgabenstellung

  1. Bestimmen Sie ein maximales Gebiet G\subset\IC\setminus\{\pm i\}, das die Einheitskreisscheibe \{z\in\IC : |z|<1\} enthält, und auf dem die Funktion

    (1)   \begin{equation*}  f(z)=\frac{1}{1+z^2} \end{equation*}

    eine Stammfunktion F besitzt.

  2. Falls F(0)=0, zeigen Sie[1]

    (2)   \begin{equation*}  F(\tan(z))=z \end{equation*}

    für alle z\in G'=\{z\in\IC : \tan(z)\in G\}.

Lösungsvorschlag

  1. Als Gebiet wählen wir \IC\setminus\{it : t\in\IR, |t|\geq 1\}. Auf diesem Gebiet besitzt f eine Stammfunktion, da das Integral entlang jeder beliebigen geschlossenen Kurve verschwindet – es gibt nämlich keinen geschlossenen Weg, so dass eine der Singularitäten \pm i in dessen Inneren liegt.
    Das Gebiet ist maximal, da es kein echtes Teilgebiet G'\subset G gibt, für das das Gleiche gilt. Bei einer “Lücke” in ix, x\in\IR, |x|\geq 1 wäre der Integrationsweg \gamma:=\frac{xi}{2}(1+e^{it}) ein geeigneter. Das dazugehörige Integral beträgt in diesem fall

    (3)   \begin{equation*}   \int_\gamma f=2\pi i Res_{\pm i}(f) = 2\pi i \lim_{z\rightarrow\pm   i}\frac{1}{z\pm i}=\pm\pi\neq 0.  \end{equation*}

  2. Wir analysieren F(\tan(z)) und dessen Ableitung.

        \begin{align*}     (F(\tan(z)))'=&F'(\tan(z))\tan'(z) \\    =&\frac{1}{1+\tan^2(z)}\frac{1}{\cos^2(z)} \\    =&\frac{1}{\cos^2(z)+\sin^2(z)}=1  \end{align*}

    Die Funktion F ist entlang \tan(z) eine lineare Funktion z+b. Da F(0)=0, ist b=0. Somit ist gezeigt, dass F(\tan(z))=z, also ist F die Umkehrfunktion des Tangens.

  • [1]In der Originalangabe steht fälschlicherweise auf der rechten Seite eine 0. Dies kann nicht sein, da F sonst nach dem Identitätssatz die Nullfunktion wäre. Dies überträgt sich durch Differentiation auf f, aber f\not\equiv 0
    1. Leave a Reply