Examen Herbst 2009, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen u:\IR\rightarrow\IR der Differentialgleichung u''-10u'+34u=0 für die Randwertprobleme

  1. u(0)=0, u\left(\frac{\pi}{2}\right)=1;
  2. u(0)=0, u(\pi)=1;
  3. u(0)=0, u(\pi)=0.

Lösungsvorschlag

Bevor wir mit den Randwertproblemen starten, bestimmen wir erst die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung.
Setzen wir e^{\lambda} in die Differentialgleichung ein, so reduziert sich das Problem auf die Bestimmung der Nullstellen des Polynoms \lambda^2-10\lambda+34. Mit der Mitternachtsformel sind diese schnell als \lambda_{1,2}=5\pm 3i bestimmt. Alle Lösungen der Differentialgleichung lauten also für a,b\in\IR

    \begin{equation*}  u_{allg}(t)=e^{5t}(a\cdot\cos(3t)+b\cdot\sin(3t)).  \end{equation*}

  1. Im ersten Fall ergibt sich

        \begin{align*}  	0=u(0)=&~a\\	1=u\left(\frac{\pi}{2}\right)=&~e^{\frac{5}{2}\pi}(-b).  	\end{align*}

    Dieses Gleichungssystem lässt sich mit a=0,b=-e^{-\frac{5}{2}\pi} lösen, so dass die eindeutige Lösung des Randwertproblems

        \begin{equation*}  u(t)=e^{5t}(-e^{-\frac{5}{2}\pi}\sin(3t))  \end{equation*}

    ist.

  2. Im zweiten Fall ergibt sich

        \begin{align*}  	0=u(0)=&~a\\	1=u(\pi)=&~e^{5\pi}(-a).  	\end{align*}

    Dieses Gleichungssystem ist nicht lösbar. Zu diesem Randwertproblem existiert also keine Lösung.

  3. Im dritten Fall ergibt sich

        \begin{align*}  	0=u(0)=&~a\\ 0=u(\pi)=&~e^{5\pi}(-a).  	\end{align*}

    Dieses Gleichungssystem ist mit a=0 und beliebigem b lösbar, so dass sich alle Lösungen zu

        \begin{equation*}  u(t)=e^{5t}(b\sin(3t)), b\in\IR  \end{equation*}

    ergeben.

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