Examen Herbst 2009, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung

Für die Differentialgleichung u'(x)=\sqrt{1-u(x)^2} bestimmen Sie jeweils alle Lösungen u:[0,\infty)\rightarrow\IR zu den Anfangswerten

  1. u(0)=1,
  2. u(0)=-1.

(Hinweis: Auch wenn es nicht so aussieht, sind beide Fragen grundverschieden. Achten Sie unbedingt auf das Vorzeichen von u'. Eine Skizze des Graphen von u kann hilfreich sein.)

Lösungsvorschlag

Bevor wir mit den Anfangswertproblemen starten, betrachten wir einige Eigenschaften der Differentialgleichung. Die Differentialgleichung ist bekanntlich nicht Lipschitzstetig in den Punkten \pm 1, die konstanten Funktionen \pm 1 lösen außerdem die Differentialgleichung. Weiterhin kann sich der Graph einer Lösung nur zwischen 1 und -1 befinden – ein Indiz dafür, dass es sich hier eventuell um trigonometrische Funktionen handelt. Außerdem ist die Ableitung stets positiv, als Lösungskurven kommen also nur monoton steigende Funktionen infrage.

  1. Zu dem Anfangswertproblem u(0)=1 ist eine Lösung die Konstante 1. Da eine Lösung der Differentialgleichung durch 1 nach oben beschränkt ist, gilt für alle Lösungen u stets u\leq 1. Weiterhin ist jede Lösung u monoton steigend, es folgt also u\geq 1. Beide Ungleichungen zusammengefasst ergeben als einzige Lösung u\equiv 1.[1]^,[2]
  2. Die Konstante -1 löst offensichtlich das Anfangswertproblem u(0)=-1. Die Methode der Trennung der Variablen liefert für

        \begin{equation*} \int_{-1}^u \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}dv=\int_0^t 1 ds \end{equation*}

    die Funktion u(x)=-\cos(x). Diese Funktion löst keinesfalls die Differentialgleichung, da sie die Monotonieeigenschaft nicht erfüllt. Verlässt jedoch eine Lösung den Funktionswert -1, so entspricht ihr Verlauf lokal dem Verlauf des Cosinus. Erreicht sie den Funktionswert 1, so läuft sie aus gleichen Gründen wie bei Teilaufgabe (a) konstant weiter. Alle Lösungen sind somit durch

        \begin{equation*} u(x)=\begin{cases}   -1,  & \text{f\"ur }0\leq x < a \\   -\cos(x-a), & \text{f\"ur } a\leq x<a+\frac{\pi}{2} \\   1 & \text{f\"ur } x\geq a+\frac{\pi}{2} \end{cases} \end{equation*}

    gegeben.

  • [1]Dieses Anfangswertproblem ist ein schönes Beispiel für ein Anfangswertproblem, bei dem Lipschitzstetigkeit nicht erfüllt ist, die Lösung dennoch eindeutig ist. Dies sollte man sich unbedingt merken!
  • [2]Weiterhin ist dieses Anfangswertproblem ein schönes Beispiel für das Versagen mancher Computeralgebrasysteme. Wolfram Mathematica spuckt beispielsweise cos(t) als Lösung des Anfangswertproblems aus, was natürlich nur im Punkt 0 richtig ist.
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