Examen Frühjahr 2012, Aufgabe 3.2

Aufgabenstellung

Sei f(z):=\frac{1}{(z-1)(2-z)} für alle z\in\IC\setminus\{1,2\}.

  1. Bestimmen Sie die Taylorreihenentwicklung von f in \{z\in\IC : |z|   < 1\}.
  2. Bestimmen Sie die Laurentreihenentwicklung von f in \{z\in\IC : 1    < |z| < 2\}.
  3. Bestimmen Sie die Laurentreihenentwicklung von f in \{z\in\IC : |z| > 2\}.
  4. Zwei reelle Zahlen a\neq b erfüllen 1<a,b<2. Betrachten Sie die Ellipse E=\gamma([0,2\pi]), wobei \gamma(t):=a\cos(t)+ib\sin(t) mit t\in[0,2\pi]. Berechnen Sie

    (1)   \begin{equation*}    \int_\gamma f(z)dz. \end{equation*}

Lösungsvorschlag

Durch den Ansatz zur Partialbruchzerlegung

(2)   \begin{equation*}   \frac{A}{z-1}+\frac{B}{2-z}=\frac{1}{(z-1)(z-2)}  \end{equation*}

findet man schnell die Gleichung

(3)   \begin{equation*}   \frac{1}{(z-1)(z-2)}=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{2-z}  \end{equation*}

  1. Da sowohl |z|<1 als auch |\frac{z}{2}|<1 für |z<1| gilt, sind folgende Brüche Grenzwerte entsprechender geometrischer Reihen.

        \begin{align*}   \frac{1}{z-1}+\frac{1}{2-z}=&-\frac{1}{1-z}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{2}} \\  =&-\sum_{k=0}^\infty   z^k+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{z}{2}\right)^k \\  =&\sum_{k=0}^\infty\left(-1+\frac{1}{2^{k+1}}\right)z^k  \end{align*}

  2. Da sowohl |\frac{1}{z}|<1 als auch |\frac{z}{2}|<1 f+r 1<|z|<2 gilt, sind folgende Brüche Grenzwerte entsprechender geometrischer Reihen.

        \begin{align*}   \frac{1}{z-1}+\frac{1}{2-z}=&\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{2}} \\  =&   \frac{1}{z}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{z}\right)^k+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{z}{2}\right)^k \\  =&\sum_{k=0}^\infty   z^{-k-1}+\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}z^k \\  =&\sum_{-\infty}^{-1}z^k+\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}z^k  \end{align*}

  3. Da sowohl |\frac{1}{z}|<1 als auch |\frac{2}{z}|2 gilt, sind folgende Brüche Grenzwerte entsprechender geometrischer Reihen:

        \begin{align*}   \frac{1}{z-1}+\frac{1}{2-z}=&\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{z}} \\  =&\frac{1}{z}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{z}\right)^k-\frac{1}{z}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{2}{z}\right)^k \\  =&\sum_{k=1}^\infty z^{-k}-\sum_{k=1}^\infty 2^{k-1}z^{-k} \\  =&\sum_{k=1}^\infty\left(1-2^{k-1}\right)z^{-k} \\  =&\sum_{k=1}^\infty\left(1-2^{k-1}\right)z^{-k}=\sum_{k=-\infty}^{-1}\left(1-2^{-k-1}\right)z^k  \end{align*}

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