Examen Frühjahr 2012, Aufgabe 2.2

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen f,g,h:\IC\rightarrow\IC mit der Eigenschaft

  1. f(z)=-f(\overline{z}), z\in\IC, bzw.
  2. Re g(z)=\sin(Im g(z)), z\in\IC, und g(0)=2\pi i, bzw.
  3. h'(z)=z^2h(z), z\in\IC.

Lösungsvorschlag

  1. Das Wirtinger-Kalkül besagt, dass f genau dann analytisch ist, wenn \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0 ist. Es ist nun im Falle der holomorphie dieser Funktion

    (1)   \begin{equation*}   0=\frac{\partial f(z)}{\partial \overline{z}}=\frac{\partial}{\partial   \overline{z}}(-f(\overline{z}))=-f'(z).  \end{equation*}

    Also ist f konstant, da die erste Ableitung verschwindet. Aus der Bedingung f(z)=-f(\overline{z}) folgt mit f(z)=c, dass f\equiv 0 ist.

  2. Da die Sinusfunktion im Reellen einen Wertebereich von [-1,1] hat, ist der Realteil von g beschränkt. Das Bild von g in \IC ist somit nicht dicht in \IC. Hieraus folgt, dass g konstant ist. Die einzige Funktion, die darüberhinaus auch der Bedingung g(0)=2\pi i genügt, ist g \equiv 2\pi i selbst.
  3. Mit Mitteln der gewöhnlichen Differentialgleichungen (Trennung der Variablen) erhalten wir die Kandidaten f(z)=ce^{\frac{z^3}{3}} mit c\in\IC. Diese genügen der Differentialgleichung, wie man leicht durch Differenzieren verifiziert. Haben wir nun eine weitere Funktion j, die diese Differentialgleichung löst, so gilt

        \begin{align*}     (j(z)e^{-\frac{z^3}{3}})'=j'(z)e^{-\frac{z^3}{3}}     -j(z)z^2e^{-\frac{z^3}{3}}\\=z^2j(z)e^{-\frac{z^3}{3}}-j(z)z^2e^{-\frac{z^3}{3}}=0.  \end{align*}

    Somit ist das Produkt j(z)e^{-\frac{z^3}{3}} konstant. Also sind oben gefundene Lösungen alle Lösungen.

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