Examen Frühjahr 2012, Aufgabe 2.1

Aufgabenstellung

Wie viele Lösungen (mit Vielfachheit gezählt) hat die Gleichung

(1)   \begin{equation*}  z^5-z^4+z^3-z^2+6z=1 \end{equation*}

in \{z\in\IC : |z|<1\} bzw. in \{z\in\IC : 1<|z|3\}?

Lösungsvorschlag

Wir stellen die äquivalente Frage, wie viele Nullstellen die Funktion p(z):=z^5-z^4+z^3-z^2+6z-1 in den jeweiligen Mengen besitzt.

  1. Für den Fall |z|<1 sei

    (2)   \begin{eqnarray*}    f(z):=&6z \\   g(z):=&z^5-z^4+z^3-z^2-1.  \end{eqnarray*}

    Es gilt nun

        \begin{align*}  |g(z)|_{|z|=1}=&|z^5-z^4+z^3-z^2-1|_{|z|=1} \\ \leq & |z^5|_{|z|=1}|-z^4|_{|z|=1}+|z^3|_{|z|=1}+|-z^2|_{|z|=1}+|1|_{|z|=1}=5 \\ <&6=|6z|_{|z|=1}=|g(z)|_{|z|=1}.  \end{align*}

    Somit haben nach dem Satz von Rouché g und f+g=p gleich viele Nullstellen in |z|<1, nämlich genau eine. Wegen der starken Ungleichung liegt keine Nullstelle auf dem Rand dieser Menge.

  2. Für den Fall |z|<3 sei

    (3)   \begin{eqnarray*}    f(z):=&z^5 \\   g(z):=&-z^4+z^3-z^2+6z-1.  \end{eqnarray*}

    Es gilt nun

        \begin{align*}  |g(z)|_{|z|<3}=&|-z^4+z^3-z^2+6z-1|_{|z|<3} \\ \leq & |-z^4|_{|z|<3}+|z^3|_{|z|<3}+|-z^2|_{|z|<3}+|6z|_{|z|<3}+|1|_{|z|<3} \\ =&81+27+9+18+1=136<243=|z^5|_{|z|<3} \\ =&|g(z)|_{|z|<3}.  \end{align*}

    Somit haben nach dem Satz von Rouché g und f+g=p gleich viele Nullstellen in |z|<3, nämlich genau fünf. Da eine Nullstelle bereits im Einheitskreis vorlag, hat p in 1<|z|<3 genau vier Nullstellen.

  3. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra (oder schon induktiv per Polynomdivision) gilt, dass die Funktion p genau (maximal) fünf Nullstellen auf \IC besitzt. Da alle diese bereits in |z|3 nullstellenfrei.

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