Examen Frühjahr 2012, Aufgabe 1.3

Aufgabenstellung

Es sei U:\{z\in\IC : |z|<\frac{1}{2}\}. Zeigen Sie, dass es eine holomorphe Funktion h:U\rightarrow\IC mit

(1)   \begin{equation*}  e^{h(z)}=1+z^5+z^{10} \end{equation*}

für alle z\in U gibt.

Lösungsvorschlag

Nach dem Existenzsatz für holomorphe Logarithmusfunktionen existiert eine solche Funktion h(z) auf der Menge U genau dann, wenn das Bild von e^{h(z)} auf U ein zusamenhängendes, nullstellenfreies Bild besitzt.
Die Frage lässt sich somit beantworten, wenn wir die rechte Seite

(2)   \begin{equation*}  p(z):=1+z^5+z^{10}  \end{equation*}

auf Nullstellen in U (und auf dessen Rand) untersuchen. Wir betrachten hierzu die Funktionen

(3)   \begin{eqnarray*}  f(z):=&1 \\ g(z):=&z^5+z^{10}.  \end{eqnarray*}

Es gilt nun

    \begin{align*}  |g(z)|_{\partial U}=&|z^5+z^{10}|_{\partial U} \\ <& |z^5|_{\partial U}\underbrace{|1+z^5|_{\partial U}}_{<2} \\ < &\frac{1}{2^4}<1=|f(z)|_{\partial U}.  \end{align}

Nach dem Satz von Rouché haben nun f und f+g=p gleich viele Nullstellen auf U. Somit folgt nach obiger Vorüberlegung die Existenz der Funktion h.

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