Examen Frühjahr 2012, Aufgabe 1.2

Aufgabenstellung

Fragen zur Funktionentheorie:

  1. Gibt es eine holomorphe Funktion f:\{z\in\IC : |z|<2\}\rightarrow\IC, so dass f(\frac{1}{2})=2 ist und |f(z)|=1 für alle z\in\IC mit |z|=1 gilt?
  2. Gibt es eine holomorphe Funktion g:\IC\rightarrow\IC, so dass für alle x+iy\in\IC gilt: (Im g)(x+iy)=x^2-y^2?
  3. Gibt es eine offene Umgebung U\subseteq\IC von 0 und eine holomorphe Funktion h:U\rightarrow\IC, so dass für alle n\in\IN_0 gilt: h^{(n)}(0)=(-1)^n(2n)!

Lösungsvorschlag

  1. Würde es eine solche Funktion geben, so wäre auch deren Einschränkung auf den Einheitskreis eine holomorphe Funktion mit den zusätzlich angegebenen Eigenschaften. Diese Funktion nimmt jedoch nach dem Maximumsprinzip auf dem Rand des Einheitskreises ihr Betragsmaximum 1 an. Da jedoch an der Stelle \frac{1}{2} dieses Maximum überschritten wird, ist die Existenz einer solchen Funktion ausgeschlossen.
  2. Nach einem Satz aus der Existenztheorie holomorpher Funktionen gilt, dass Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion harmonisch sein müssen. Da jedoch

    (1)   \begin{equation*}    \frac{\partial^2 g(x,y)}{\partial^2 x } = 2 \neq -2 =\frac{\partial^2   g(x,y)}{\partial^2 y }  \end{equation*}

    ist, ist der Imaginärteil der Funktion g nicht harmonisch. Es kann also keine holomorphe Funktion mit angegebenem Imaginärteil geben.

  3. Angenommen, es gebe eine solche Funktion h. Diese lässt sich nun in eine Potenzreihe um z=0 entwickeln:

    (2)   \begin{equation*}  h(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{h^{(n)}(0)}{n!}z^n=\sum_{n=0}^\infty \underbrace{(-1)^n\frac{(2n)!}{n!}}_{=:a_n}z^n. \end{equation*}

    Da die Folge (a_n) keine Nullfolge bildet, ist diese Reihe nur im Punkt z=0 konvergent. Dies ist ein Widerspruch zur Holomorphie auf der offenen Menge U.

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