Aufgabenstellung
Sei ein Gebiet und
eine holomorphe Funktion. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Bei richtigen Aussagen verweisen Sie auf einen passenden Satz der Funktionentheorie, bei falschen geben Sie ein Gegenbeispiel.
- Ist
eine Folge in
mit
für alle
, so ist
.
- Ist
eine Folge in
mit Häufungspunkt und
für alle
, so ist
.
- Ist
eine folge in
mit Häufungspunkt in
und
für alle
, so ist
.
- Ist
auf
beschränkt, so ist
konstant.
- Ist
und
auf
beschränkt, so ist
konstant.
- Ist
und
auf
beschränkt, so ist
konstant.
Lösungsvorschlag
- Dies ist falsch, da hierzu die Folge mindesten konvergieren müsste. Ein Gegenbeispiel wäre der Sinus, der in seiner nicht konvergierenden Nullstellenmenge verschwindet.
- Dies ist falsch, da der Häufungspunkt selbst in
liegen muss. Ein gegenbeispiel ist die Funktion
. Die Folge
strebt gegen den Ursprung, der jedoch nicht in
enthalten ist. Entlang dieser Folge verschwindet die angegebene Funktion, die jedoch nicht mit der Nullfunktion übereinstimmt.
- Dies ist eine Formulierung des Identitätssatzes. Die Aussage ist somit korrekt.
- Diese Aussage ist falsch, man muss sich nur eine auf einem beschränkten Gebiet
nichtkonstante holomorphe Funktion vorgeben, die auf dem Rand von
keine Singularität besitzt – Beispielsweise
und
.
- Dies ist richtig, was durch die Untersuchung der Singularität im Ursprung hervorgeht. Da
auf
beschränkt ist, muss im Ursprung eine hebbare Singularität vorliegen – in den anderen Fällen würde
dort divergieren. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ließe sich
auf ganz
holomorph fortsetzen, so dass die Fortsetzung eine beschränkte ganze Funktion ist. Diese ist nach dem Satz von Liouville konstant, und somit auch deren Einschränkung auf
.
- Dies ist direkt der Satz von Liouville. Die Aussage ist somit richtig.