Examen Frühjahr 2012, Aufgabe 1.1

Aufgabenstellung

Sei G\subset \IC ein Gebiet und f:G\rightarrow \IC eine holomorphe Funktion. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Bei richtigen Aussagen verweisen Sie auf einen passenden Satz der Funktionentheorie, bei falschen geben Sie ein Gegenbeispiel.

  1. Ist (z_n)_n eine Folge in G mit f(z_n)=0 für alle n, so ist f(z)\equiv 0).
  2. Ist (z_n)_n eine Folge in G mit Häufungspunkt und f(z_n)=0 für alle n, so ist f(z)\equiv 0.
  3. Ist (z_n)_n eine folge in G mit Häufungspunkt in G und f(z_0)=0 für alle n, so ist f(z)\equiv 0.
  4. Ist f auf G beschränkt, so ist f konstant.
  5. Ist G=\IC\setminus\{0\} und f auf G beschränkt, so ist f konstant.
  6. Ist G=\IC und f auf G beschränkt, so ist f konstant.

Lösungsvorschlag

  1. Dies ist falsch, da hierzu die Folge mindesten konvergieren müsste. Ein Gegenbeispiel wäre der Sinus, der in seiner nicht konvergierenden Nullstellenmenge verschwindet.
  2. Dies ist falsch, da der Häufungspunkt selbst in G liegen muss. Ein gegenbeispiel ist die Funktion sin\left(\frac{1}{z}\right). Die Folge \left(\frac{1}{2\pi n}\right)_n strebt gegen den Ursprung, der jedoch nicht in G:=\IC\setminus\{0\} enthalten ist. Entlang dieser Folge verschwindet die angegebene Funktion, die jedoch nicht mit der Nullfunktion übereinstimmt.
  3. Dies ist eine Formulierung des Identitätssatzes. Die Aussage ist somit korrekt.
  4. Diese Aussage ist falsch, man muss sich nur eine auf einem beschränkten Gebiet G nichtkonstante holomorphe Funktion vorgeben, die auf dem Rand von G keine Singularität besitzt – Beispielsweise f=id und G=\IE.
  5. Dies ist richtig, was durch die Untersuchung der Singularität im Ursprung hervorgeht. Da f auf G beschränkt ist, muss im Ursprung eine hebbare Singularität vorliegen – in den anderen Fällen würde f dort divergieren. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ließe sich f auf ganz \IC holomorph fortsetzen, so dass die Fortsetzung eine beschränkte ganze Funktion ist. Diese ist nach dem Satz von Liouville konstant, und somit auch deren Einschränkung auf G.
  6. Dies ist direkt der Satz von Liouville. Die Aussage ist somit richtig.